可逆矩阵

高等代数一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程高等代数,...........................................,...,...22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa11111212111212122222221122nnnnnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb回忆高等代数1112111212222212nnnnnnnnaaaxbaaaxbaaaxb111212122212A,nnnnnnaaaaaaaaa12X,nxxx12B.nbbbAXB.高等代数1AXBAB若是，则有唯一解X问题的提出：的线性方程组是否可以象一元一次代axbnnAXB一样求解?数方程即:1,AA对方阵是否存在矩阵使1AAI高等代数可逆矩阵１.定义：ABBAEAP设是数域上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使ABPnn可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶的方阵。⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。那么称A-1为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A一.可逆矩阵的定义：高等代数1010A,B,1111101010AB,111101I例如101010BA.111101I矩阵A,B互为可逆矩阵高等代数矩阵可逆的条件现在的问题是：在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A-1？为此先引入伴随矩阵的概念.高等代数||0,AAA方阵可逆的充要条件是且可逆矩阵的逆矩阵为1*1AAA定理称为A的伴随矩阵.*A11AAAAE证明:若A可逆,有两边取行列式,得11||||||1AAAAE从而||0A:求逆矩阵方法一：伴随矩阵法高等代数注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.2)此定理在理论推导中非常有用.3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.:||0,A又**||||AAAAIAA所以,A可逆,且1*1||AAA*AA*|A|.AAI高等代数nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211中元素aij的代数余子式，矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*伴随矩阵定义设Aij是矩阵高等代数12312(1);(2)45634333AB(1)20.AA故可逆，2142131312221*1AAA(2)0.BB故不可逆例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵解:高等代数111213111213122221A(1)3,A(1)4,A(1)5,331313313233313233231312A(1)1,A(1)4,A(1)3.122221212223212223231312A(1)3,A(1)0,A(1)1,331313例2求矩阵A的逆矩阵，其中123A212.133123|A|21240,133解A.可逆高等代数112131122232132333AAA331A*AAA404.AAA513133133144411AA*404101.|A|4513513444高等代数逆矩阵的性质定理2.4.2若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.证明若B、C都是A的逆矩阵，则,.ABBAIACCAI于是()().BBIBACBACICC性质2若A可逆，则可逆，且1A11().AA事实上，这由等式，可以直接推出.11AAAAI高等代数矩阵求逆运算规律性质1若A可逆，则可逆，且1A11().AA高等代数性质2两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且111().ABBA证明由于故AB可逆，且111111()()()(),ABBAABBAAIAAAI111111()()()(),BAABBAABBIBBBI111().ABBA一般地，1111112121()sssAAAAAAA高等代数性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且'11'()()AA证11A(A)(AA),II11(A)A(AA),II11(A)(A).;AkkA111)(性质4性质5;|A|||A11高等代数由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且：)()(kEkEii11jijiEE,1,)()(,,kEkEjiji1可逆矩阵与初等矩阵的关系高等代数定理2.4.5n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积定理2.4.4n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵高等代数，有时，由当lPPPAA210,11111IAPPPll,111111AIPPPll及IPPPAPPPllll11111111111AIIAPPPll11111.)(21AIIAIAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对求逆矩阵方法二：初等变换法高等代数100011010012001111IA解12330001221001110122321)1(2rrrrr10112001221000111113122rrrr011012111A设例1A求高等代数3132132310313101A所以A可逆，且31321100323100103131000133231)31(3231rrrrr高等代数011411210A设例试判断A是否可逆，若可逆求1A0104200012100104111000110104110012102123rrrrIA解11200000121001120123212rrrr从而知，A不可逆。高等代数IA（1）判断矩阵A是否可逆，可直接对作初等行变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有一行为0，就能判断A不与I等价，从而知A不可逆。注意：（2）若作nn2阶分块矩阵IA只对分块矩阵IA单位矩阵时，作初等列变换，当可逆矩阵A化为子块I就化成了1A高等代数解.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA1226209152052321122rr133rr例如.341352,343122321BA，其中使求矩阵BAXX,求利用逆矩阵求解线性方程组(解矩阵方程)|高等代数31100915204120131100640202300121rr23rr312rr325rr，311003201023001）（22r）（13r.313223X高等代数如果矩阵A和C分别是m阶和n阶可逆矩阵，矩阵B是m×n阶矩阵，则1）矩阵方程AX=B的解为2）矩阵方程XA=B的解为3）矩阵方程AXC=B的解为11.XABC1;XAB1;XBA一般地高等代数四、逆矩阵的性质性质1若A可逆，则可逆，且1A11().AA性质2两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且111().ABBA性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且'11'()()AA;AkkA111)(性质4性质5;|A|||A11高等代数1、利用可逆的充要条件，设法证明||0A2、利用矩阵可逆的定义，若能验证AB=BAI则A可逆，且1AB3、利用可逆矩阵的性质证明.证明矩阵A可逆的方法高等代数例若方阵A满足A3=0，证明：可逆，且I-A12()I-AIA+A2()()I-AIA+A证：223I+A+AAAA=I12()I-AIA+A例6若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.11A(AB)A(AC).BC.高等代数例设A为n阶矩阵(n2),证明|A*|=|A|n-1.证由于AA*=A*A=|A|I,所以|A||A*|=|A|n(4)下面分三种情形讨论:(1)|A|0,即A可逆,(4)式两端除以|A|即得|A*|=|A|n-1.(2)|A|=0,且A=O,则A*=O,结论显然成立.高等代数(3)|A|=0,但AO,反设|A*|0,则A*可逆,因而A=(AA*)(A*)-1=(|A|I)(A*)-1=|A|(A*)-1=O,故A=O,与AO矛盾,所以,|A*|=0=|A|n-1.高等代数例设n阶矩阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.证将A-1+B-1表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1+B-1=A-1(I+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(B+A)B-1.由可逆矩阵的性质可知(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(B+A)-1A.同理可证另一个等式也成立.高等代数克拉默法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,可以写成AX=B.(6)高等代数如果|A|0，那么A可逆.用X=A-1B代入(6)，得恒等式A(A-1B)=B，这就是说A-1B是一解.如果X=C是(6)的一个解，那么由AC=B得A-1(AC)=A-1B，即C=A-1B.这就是说，解X=A-1B是唯一的.用A-1的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.高等代数授课题目4.2可逆矩阵授课时数：2课时教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式可逆矩阵的判定.教学重点：可逆矩阵的判定，求逆矩阵的公式,可逆矩阵的性质.教学难点：逆矩阵的定义，伴随矩阵与矩阵的关系