521.2.1《导数的计算》

1.2.1几种常见函数的导数0000()()()limxfxxfxfxx)(xfy0x2、由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()fxxfxyxx（1）求平均变化率:；00()limxyfxx．（2）取极限，得导数:一、复习0xx1、导数概念：函数fx在处的瞬时变化率即为fx该处的导数。3.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy0''''()()()()().fxxxfxxfxxfxfxy从求函数在处求导数的过程可以看到是一个确定的数，那么当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数，记作或''0()()()limxfxxfxfxyx'00()().fxxfxxx函数在处的导数就是导函数在处的函数值二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.0()CC为常数0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.2.函数y=f(x)=x的导数，因为1xxxxxxfxxfxy.11limlim'00xxxyy所以y=xyxOy=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.探究在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?21-1-2-2-112xyy=xy=2xy=3xy=4x函数y=f(x)=kx的导数xxfxxfxy因为.limlim'00kkxyyxx所以kxkxkxkx，xkxxxk3.函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxfxxfxy22因为xxxxxx2222xx2.22limlim'00xxxxyyxx所以y=x2yxOy=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明:当x0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.4.函数y=f(x)=的导数x1xxxxxxfxxfxy11因为，xxxxxxxxxx21.11limlim'2200xxxxxyyxx所以探究画出函数的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy5.函数y=f(x)=的导数xxxxxxxfxxfxy因为xxxxxxxxxx，xxx1.211limlim'00xxxxxyyxx所以公式2:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn算一算(1)y=x4;(2)y=x-5;;)3(xy;1)4(2xy注意公式中,n的任意性.4x3-5x-62121x-2x-3基本初等函数的导数公式;0',.1xfcxf则若;',.21*nnnxxfNnxxf则若;cos',sin.3xxfxxf则若;sin',cos.4xxfxxf则若;ln',.5aaxfaxfxx则若;e',e.6xxxfxf则若;ln1',log.7axxfxxfa则若;1',ln.8xxfxxf则若不需推导，但要注意符号的运算.练习(1)5x4;(2)6x5;(3)cost;(4)-sin.;3)5(4x.31)6(32x2.选择题（1）下列各式正确的是（）6551)'.(cos)'.(sinsin)'cos.(cos)'.(sinxxDxxCxxBA（为常数）C（2）下列各式正确的是（）3ln3)'3.(3)'3.(10ln)'.(log1)'.(logxxxaaDxCxxBxxAD3.填空(1)f(x)=80，则f'(x)=______;_______;)2(32的导数是xy______)1(______;)(,)()3(''等于等于则fxfexfx03132xxee________)1()4('xogaaxln14.求下列函数的导数3153412)6()5()4(1)3()2()1(xyxyxyxyxxyxy小结、基本初等函数的导数公式（1）若f(x)=c,则f′(x)=_____;（2）若f(x)=xn(n∈R),则f′(x)=_;（3）若f(x)=sinx,则f′(x)=_____;（4）若f(x)=cosx,则f′(x)=_____;（5）若f(x)=ax,则f′(x)=____;nxn-1axlna(a0)cosx-sinx0（6）若f(x)=ex,则f′(x)=____;（7）若f(x)=logax,则f′(x)=_____(a0,且a≠1);（8）若f(x)=lnx,则f′(x)=____。exaxln1x1导数运算法则;'''.1xgxfxgxf;'''.2xgxfxgxfxgxf0'''.32xgxgxgxfxgxfxgxf法则1:[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x);1:求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x4-x2-x+3.xxycos3'2124'3xxy法则2:应用2:求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x-2)(2)y=(1+x6)(2+sinx)9818)23()'32()'23)(32('222xxxxxxyxxxxycos)1()sin2(6'65)()()()()()('''xgxfxgxfxgxf法则3:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf3:求下列函数的导数33)2(2xxy(1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)'cossin('222)3(36'xxxy堂上练习求下列函数的导数：140202124xxxy4326154232xxxxy)3)(12(323xxxy三、看几个例子:例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程xyxxxxxx解：1）0011limlim.2xxyyxxxxx1:1(1).222yxx11切线方程即：y=2）补充例题.已知函数y=xlnx(1)求这个函数的导数(2)求这个函数在点x=1处的切线方程xxxxxyln1)'(ln)'(ln')1(解：11ln1)0,1()2(kP斜率切线过点切线方程是：y=x-1五、练习、作业:·求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。