第11课_圆锥曲线中的定点、定值问题

第11课圆锥曲线中的定点、定值问题1．解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题并没有常规方法，但基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，结合等式的恒成立求解，也就是说要与题中的可变量无关。【要点梳理】3．求定点常用方法有两种：①特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．．．．。②依据题设条件选取某个变量，将题中定值（或过定点的几何对象）用这个变量表示，然后说明与这个变量无关．．．．，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等。如：02)1(yxk，则0201yx，直线过定点)2,1(0),(),(yxgyxf，则曲线以0),(0),(yxgyxf的交点为定点。2．求定值：一般地针对所求的值运用坐标法、同点纵横坐标的转化、根与系数的关系的整体代入，进行结构的整合、变形，最终求得定值。例1．如图，过抛物线xy2上一点)2,4(A作倾斜角互补的两条直线ACAB,交抛物线于CB,两点，求证：直线BC的斜率是定值。证明：显然直线ACAB,的斜率都不是零，设AB的直线方程是2)4(xky，CBAxyO由方程xyxky22)4(，消去y得041616)148(2222kkxkkxk2241616kkkxxBA，4Ax，即22144kkkxB，而直线AC的斜率为k，以k代替Bx中的k，得22144kkkxC，41)8(CBCBCBCBBCxxxxkxxyyk所以直线BC的斜率为定值41。【典例分析】证法二：显然直线ACAB,的斜率都不是零，设AB的直线方程是2)4(xky，由方程xyxky22)4(，消去x得0422kykykyyBA1，2Ay，即21kyB，例1．如图，过抛物线xy2上一点)2,4(A作倾斜角互补的两条直线ACAB,交抛物线于CB,两点，求证：直线BC的斜率是定值。CBAxyO而直线AC的斜率为k，以k代替By中的k，得21kyC，41122CBCBCBCBCBBCyyyyyyxxyyk所以直线BC的斜率为定值。【典例分析】方法感悟：①已知直线ACAB,两直线的倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数（斜率k）来表示，可简化运算。②求点B（或C）的坐标时，注意到A点坐标已知，而A，B的坐标恰恰是直线与曲线的方程的解，可利用韦达定理，用点A坐标表示点B（或点C）的坐标。设而不求，整体代换数学思想。变式训练1.已知椭圆C经过点)23,1(A,两个焦点为(－1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相互数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.xyFEA又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得(2)设直线AE方程为23)1(xky,代入13422yx得012)23(4)23(4)43(222kxkkxk设),(11yxE，),(22yxF，因为点)23,1(A在椭圆上,所以2214312)23(4kkx,kkxy2311【典例分析】解:(1)椭圆方程为13422yxkkxykkx23,4312)23(422222所以直线EF的斜率212)(21212121xxkxxkxxyykEF,即直线EF的斜率为定值,其值为21.变式训练1.已知椭圆C经过点)23,1(A,两个焦点为(－1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相互数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【典例分析】xyFEA解：（1）当1m时，E为抛物线xy42的焦点，121kk，CDAB，设AB的方程为)1(1xky，),(),,(2211yxByxA，则由xyxky4)1(21得044121kyyk，则4,421121yykyy，24221221121kkykyxx，)2,2(2121yyxxM，)2,12(121kkM，同理)2,12(121kkN，||||21ENEMSEMN21221222221)2()2()2()2(21kkkk42122121kk，当且仅当11k时，EMN面积的最小值为4.例2.（2014年浙江师大附中模拟）已知点)0(),0,(mmE为抛物线xy42内一个定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于点DCBA,,,，且NM,分别是AB，CD的中点。(1)若1,121kkm，求EMN面积的最小值。(2)若121kk，求证：直线MN过定点。ANMCBDxyEO【典例分析】（2）设AB的方程为)(1mxky，)0(1k，),(),,(2211yxByxA，则由xymxky4)(21得044121mkyyk，则1214kyy，例2.（2014年浙江师大附中模拟）已知点)0(),0,(mmE为抛物线xy42内一个定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于点DCBA,,,，且NM,分别是AB，CD的中点，(1)若1,121kkm，求EMN面积的最小值。(2)若121kk，求证：直线MN过定点。ANMCBDxyEO212121kkkkkkxxyykNMNMMN，同理)2,2(222kmkN，即2)(21mxkky，【典例分析】)2,2(2121yyxxM，)2,2(121kmkM，mkmkykyxx24221221121，直线MN恒过定点)2,(m.MN的方程为)]2([222211mkxkkky，已知椭圆方程14822yx，过点)2,0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，且421kk，求证：直线AB过定点证明：显然直线PBPA,的斜率都不是零，设PA的直线方程是21xky，由方程822221yxxky，消去y得08)21(1221xkxk211218kkxxAP，0Px，即211218kkxA，21212142kkyAxyBAP变式训练3.【典例分析】而直线PB的斜率为2k，以2k代替Ax中的1k，得222218kkxB，2121214kkxxxkxkxxyykBABABABAAB所以直线AB的方程为)218(2142142211212121kkxkkkky所以直线AB的方程为)218(2142142211212121kkxkkkky（*）由421kk，取,3,121kk得直线AB方程：1445xy①由①②得交点)2,1(代入（*），在421kk下恒成立。故直线AB必过定点)2,1(。取,5,121kk得直线AB方程：18411xy②【典例分析】证明二：当直线AB不垂直x轴，故设AB的直线方程是mkxy，xyBAP由方程8222yxmkxy，消去y得0824)2(222mkmxyk设),(11yxA，),(22yxB，22124kkmxx，2221282kmxx，即2mk代入mkxy那么xyxk2)1(，即直线AB过定点)2,1(已知椭圆方程14822yx，过点)2,0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，且421kk，求证：直线AB过定点补充：22112122xyxykk【典例分析】4)2(22221212211xxxxmkxmkxxmkx另外，当直线垂直x轴时，设),(11yxA，),(11yxB，代入421kk，易得11x，即直线AB的方程为1x，也过定点)2,1(证法三：显然直线AB不平行x轴，故设AB的直线方程是nxmy，xyBAP由方程8222yxxnmy，消去x得082)2(222nmnyym设),(11yxA，),(22yxB，0)8)(2(442222nmnm8222mn22122mmnyy，222128mnyy，即mn21代入mxmy21那么1)2(xym，即直线AB过定点)2,1(已知椭圆方程14822yx，过点)2,0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，且421kk，求证：直线AB过定点变式训练3.422221121xyxykk【典例分析】例3．已知定点0,0()Mxy在抛物线)0(,22ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0MBMA．求证：弦AB必过一定点．【解析】设AB所在直线方程为：xmyn．与抛物线方程22ypx联立，消去x得2220ypmypn．08422pnmp，设11(,)Axy，22(,)Bxy【典例分析】则122yypm……①122yypn……②由已知0MBMA得，0))(())((02010201yyyyxxxx即0))(()22)(22(020122222021yyyypypypypy……③可化为))((402012yyyyp即221201204[()]pyyyyyy．将①②代入得，002npmyx．直线AB方程化为：00002()2xmypxmymyyxp．∴直线AB恒过点00(2,)xpy．方案一：例3．已知定点0,0()Mxy在抛物线)0(,22ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0MBMA．求证：弦AB必过一定点．由已知0MBMA得，0))(())((02010201yyyyxxxx则122yypm……①122yypn……②∵221010101011()()()22xxyyyyyypp222020202011()()()22xxyyyyyypp∴③式可化为1220201yypyyp，即221201204[()]pyyyyyy．将①②代入得，002npmyx．直线AB方程化为：00002()2xmypxmymyyxp．∴直线AB恒过点00(2,)xpy．例3．已知定点0,0()Mxy在抛物线)0(,22ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0MBMA．求证：弦AB必过一定点．【典例分析】方案二：由已知0MBMA得，0))(())((02010201yyyyxxxx例3．已知定点0,0()Mxy在抛物线)0(,22ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0MBMA．求证：弦AB必过一定点．【典例分析】由已知0MBMA得，0))(())((02010201yyyyxxxx方案三：0))(())((02010201yyyyxnmyxnmy0)())(()1(20202100212yxnyyymxmnyym化简得，002npmyx．直线AB方程化为：00002()2xmypxmymyyxp．∴直线AB恒过点00(2,)xpy．•定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．•解圆锥曲线