锁相技术――张厥盛 第二章

《锁相技术》第2章第2章第1节线性相位模型与传递函数第2节二阶线性系统的一般性能第3节环路对输入暂态信号的响应第4节环路对输入正弦相位信号的响应第5节环路稳定性第6节非线性跟踪《锁相技术》第2章第1节线性相位模型与传递函数一、线性相位模型与传递函数的一般形式锁相环路相位模型的一般形式如图1-13,相应的动态方程如(1-28)式。因为环路应用了正弦特性的鉴相器,所以模型与方程都是非线性的。《锁相技术》第2章图2-1正弦鉴相特性近似为线性鉴相特性《锁相技术》第2章不会引起明显的误差,θe(t)在±30°之内的误差不大于5%。因为用Kdθe(t)取代动态方程(1-28)式中的Udsinθe(t)就得?到了线性化动态方程pθe(t)=pθ1(t)-K0KdF(p)θd(t)(2-1)00()sin()()cos()[/]()eeddedddedeutUtdutKUtUVraddt《锁相技术》第2章再令环路增益K=K0Kd(2-2)则方程为pθe(t)=pθ1(t)-KF(p)θe(t)(2-3)相应的线性相位模型如图2-2(a)。上述方程与模型都是时域表达形式。不难导出其复频域的表达形式,动态方程为sθe(s)=sθ1(s)-KF(s)θe(s)(2-4)《锁相技术》第2章当研究在锁相环路反馈支路开路状态下,由输入相位θ1(t)驱动所引起输出相位θ2(t)的响应,则应讨论开环传递函数Ho(s),其定义为2o1()H(s)=()ss开环(2-5)《锁相技术》第2章图2-2锁相环路的线性相位模型《锁相技术》第2章由图2-2(b)可求得锁相环路的开环传递函数当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位θ1(t)驱动所引起的输出相位θ2(t)的响应,则应讨论闭环传递函数,其定义为()()oFsHsKs(2-6)21()()()sHss(2-7)由图2-2(b)可知,锁相环路的闭环传递函数()()()KFsHssKFs(2-8)《锁相技术》第2章当研究锁相环路闭环状态下,由输入相位θ1(t)驱动所引起的误差相位θe(t)的响应,则应研究误差传递函数,其定义为1()()()()()eeesHsssHssKFs由图2-2(b)可求得锁相环路的误差传递函数(2-9)(2-10)《锁相技术》第2章开环传递函数Ho(s)、闭环传递函数H(s)和误差传递函数He(s)是研究锁相环路同步状态性能最常用的三个传递函数,三者之间的关系为()()1()1()1()()1()ooeoeHsHsHsHsHsHsHs(2-11)(2-12)(2-13)《锁相技术》第2章二、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数本章研究二阶锁相环路所用的环路滤波器均为一阶滤波器。将具体滤波器的传递函数F(s)代入动态方程(2-4)式,就可以得到该锁相环路的动态方程。同样,将F(s)代入(2-6)、(2-8)和(2-10)式即可得到相应的传递函数。现分别就采用三种常用滤波器的情况进行讨论。当采用RC积分滤波器作为环路滤波器时,据(1-18)式,它的传递函数为《锁相技术》第2章12221111121211112111211()111()()()()()()()()()1()()()1()eeeeeoFssKssssssssssssHssKssKHsHssKsKHsHssHss(2-14)(2-15)(2-16)(2-17)(2-18)《锁相技术》第2章表2-1《锁相技术》第2章第2节二阶线性系统的一般性能一、二阶系统及其描述二阶系统在电子技术中是最常见的,例如图2-3所示的R-L-C电路。应用克希霍夫定律,可以建立方程图2-3R-L-C电路《锁相技术》第2章()1()()()1()()ioditLRititdtUtdtCitdtUtC(2-19)(2-20)22211()()()()11()()()()()()()()()()ioooioooiLsIsRIsIsUsCsIsUsCsLCssRCUsUsUsdutdutLCRCututdtDT(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)《锁相技术》第2章以后将会看到,用系统参数ζ、ωn表示传递函数,在系统设计中会带来不少方便。表2-1所列各种锁相环路的传递函数是用电路参数τ1、τ2和K表示的。它们同样也可以用系统参数ζ和ωn表达。当然,要注意的是,各种环路的系统参数ζ、ωn与电路参数τ1、τ2、K之间的关系是不同的。它们之间的关系如表2-2所示。《锁相技术》第2章表2-2《锁相技术》第2章表2-3《锁相技术》第2章二、时间响应及其指标(2-28)式已给出了ζ1的R-L-C电路,在单位阶跃电压输入下的输出响应,它是一个衰减振荡。当ζ为不同值时,输出响应尚有不同的形式。将ζ为不同值时方程(2-27)《锁相技术》第2章22222(1)(1)2222011()1sin[111()1(1)1()121(1)21(1)nnnntontonttoeuttarctguteteeut(2-32)《锁相技术》第2章据此可作出二阶系统的输出响应曲线,如图2-4。由图可见,当0ζ1时的响应为衰减振荡,系统称为欠阻尼系统。这种系统响应的暂态过程,在稳定值的上下振荡,振荡的频率ωd比ωn小。《锁相技术》第2章图2-4二阶系统的输出响应《锁相技术》第2章图2-5暂态响应的性能指标《锁相技术》第2章图2-3R-L-C电路的暂态过程指标,可从其输出响应uo(t)的表达式(2-28)直接求得。令2222(/1()11()1()01()1()1)porrnottpnopoputarctgtdutdttuMute(2-34)(2-35)(2-36)《锁相技术》第2章暂态时间的长短取决于这个时间常数。当0ζ09时,在±2%的允许范围之内,暂态时间近似为4433sasatt若在±5％允许误差之内(2-37)(2-38)《锁相技术》第2章图2-6Mp与ζ的关系曲线《锁相技术》第2章三、频率响应我们知道,用s=jΩ代入系统的传递函数即可求得系统的频率响应特性。仍以图2-3系统为例,它的传递函数为(2-31)式,用s=jΩ代入得到222()()2osisnsUjUjjx现令(2-39)《锁相技术》第2章222222()1()12()1()(1)4()2()1oioioiUjxUjxxjxUjxUjxxxUjxxArgarctgUjxx(2-40)(2-41)(2-42)《锁相技术》第2章图2-7二阶系统的频率响应特性《锁相技术》第2章图2-7二阶系统的频率响应特性《锁相技术》第2章第3节环路对输入暂态信号的响应一、误差的时间响应分别讨论三种信号输入的情况。1.输入相位阶跃输入相位阶跃时θ1(t)=Δθ·1(t)(2-43)其拉氏变换1()ss(2-44)《锁相技术》第2章(1)理想二阶锁相环路。据表2-3的误差传递函数,可求出其误差响应的拉?222221212()22()()()ennnnesssssssssABsssssssss(2-45)(2-46)(2-47)《锁相技术》第2章由曲线看出,在t=0时,环路有最大的相位误差值Δθ,这是由于t=0?显然,这个最大的Δθ值不应超过鉴相特性的线性范图。将图2-8曲线与图2-4的一般二阶系统［相当于F(s)=1/(1+sτ1)］的同类型曲线相比较,可以发现图2-8曲线的响应速度要比图2-4快得多。《锁相技术》第2章图2-8理想二阶锁相环路对相位阶跃输入的误差响应曲线《锁相技术》第2章(2)采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。据表2-3的误差传递函数,可求出其误差响应的拉氏变换222222()()()22nnennnnsssKKssssss(2-48)《锁相技术》第2章2222221()[cosh1sinh1]11()[1(1)]01()[cos1sin1]1nnnntenntnenntennKtettetKKtet《锁相技术》第2章2.输入频率阶跃输入频率阶跃时112()1()()tttss其拉氏变换(2-50)(2-51)《锁相技术》第2章(1)理想二阶锁相环路。用表2-3给出的误差传递函数和(2-51)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换22()2ennsss(2-52)2222sin11()11()sin101()1nnntnentenntnenttetettte(2-53)《锁相技术》第2章【计算举例】假如环路的输入信号频率阶跃为100Hz,阻尼系数ζ=2,测得最大相位误差为0.44rad。问40ms之后的相位误差为多大？由图2-9(a)可见,当ζ=2时,最大相差(ωn／Δω)θe(t)=0.22rad,故ωn=Δω×0.22／0.44=0.5×2π×100=314rad/s。在40ms之后,ωnt=314×40×10-3=12.56rad,由图2-9(b)查得(ωn／Δω)θe(t)=0.01rad。因此,40ms后的θe(t)=0.01×2π×100/314=2×10-2rad。《锁相技术》第2章(2)采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。由表2-3给出的误差传递函数和(2-51)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换222222222()222(2)nennnnnnnssssssssssss(2-54)《锁相技术》第2章图2-9理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线《锁相技术》第2章图2-9理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线《锁相技术》第2章(3)采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。用表2-3的误差传递函数和(2-51)式可以得到环路相位误差的拉氏变换222222222()()22(2)nennnnnnnssKssssKsssss(2-56)《锁相技术》第2章图2-10采用RC积分滤波器二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线《锁相技术》第2章3.输入频率斜升输入频率斜升时21131()1()2()tRttRss其拉氏变换(1)理想二阶锁相环路。环路误差响应的拉氏变换《锁相技术》第2章222322222222222222()2(2)1()[cosh1sinh111()(1)()[cos1sin11nnnennnntennnntennntennnnsRRsssssssRRsettRRtetRRtett(2-60)(2-61)《锁相技术》第2章图2-11理想二阶环对输入频率斜升的相位误差响应曲线《锁相技术》第2章(2)采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。环路相位误差响应的拉氏变换2223222222()22(2)(2)nennnnnnnssRssssRsssssss(2-62)《锁相技术》第2章242222222222422222212()(14)(14)cosh1[12(21)]