附录 截面的几何性质

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas(PropertiesofPlaneAreas)附录Ⅰ截面的几何性质(AppendixⅠPropertiesofplaneareas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentsofthearea¢roidofanarea)§1-4转轴公式(Rotationofaxes)§1-2极惯性矩惯性矩惯性积(PolarmomentofinertiaMomentofinertiaProductofinertia)§1-3平行移轴公式(Parallel-Axistheorem)(PropertiesofPlaneAreas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentofthearea¢roidofanarea)一、静矩(Thefirstmomentofthearea）OyzdAyz截面对y,z轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.AyAzSdAzAySd(PropertiesofPlaneAreas)yzOdAyz二、截面的形心(Centroidofanarea)CzyASAAzzyAdASAAyyzAdzASyyASz（2）截面对形心轴的静矩等于零.（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.(PropertiesofPlaneAreas)三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea)由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.(PropertiesofPlaneAreas)其中Ai—第i个简单截面面积1.组合截面静矩(Thefirstmomentsofacompositearea)2.组合截面形心(Centroidofacompositearea)zASiniiy1niiizyAS1—第i个简单截面的形心坐标),(yziiniiniiiAzAz11niiniiiAyAy11(PropertiesofPlaneAreas)解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例题1试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合AAyAyAAyAyniiniii21221111AAzAzAz212211101012Ozy901y1z2z2y图(a)(PropertiesofPlaneAreas)矩形1矩形2211200mm12010A5mm1y60mm1z22800mm8010A50mm280102ymm25z所以38mm23mm212211212211AAzAzAzAAyAyAy101012Ozy901y1z2z2y(PropertiesofPlaneAreas)方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz212211AAAyAyAAyyii221108090120)11080(5(PropertiesofPlaneAreas)§1-2极惯性矩、惯性矩、惯性积(Polarmomentofinertia、Momentofinertia、Productofinertia)yzOdAyz二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）一、惯性矩(Momentofinertia)AzAyAyIAzIdd22AAIdP2yz222AAIdP2所以yzIIIP(PropertiesofPlaneAreas)yzOdAyz三、惯性积(Productofinertia)AyzAyzId（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；（2）若y，z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea)AIiyyAIizz(PropertiesofPlaneAreas)解：bhyzCzdz例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.AzIAyd2zbAdd12dd32222bhzbzAzIhhAy123hbIz(PropertiesofPlaneAreas)zy解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例题3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.32πPdI4PIIIzyzyII所以64πdIIzy4(PropertiesofPlaneAreas)yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia)(a,b)―形心C在yOz坐标系下的坐标§1-3平行移轴公式(Parallel-axistheorem)y,z￣任意一对坐标轴C―截面形心(PropertiesofPlaneAreas)yzOC(a,b)bazCyCyC,zC￣过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）Iy,Iz,Iyz—截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.已知截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyzIyC,IzC,IyCzC￣截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.(PropertiesofPlaneAreas)二、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas）组合截面的惯性矩，惯性积niyiyII1nizizII1niyziyzII1￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.yziziyiIII,,(PropertiesofPlaneAreas)例题4求梯形截面对其形心轴yC的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴zC上.取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.21zCyC140201A801z201002A0z2所以截面的形心坐标为7mm.46212211AAzAzAzCy1z(PropertiesofPlaneAreas)2014010020y21zcyC2z)7.4680(1402014020121231CyI)7.46(2010020100121232CyI46m1012.1221CCCyyyIIIAaIICyy2(PropertiesofPlaneAreas)一、转轴公式(Rotationofaxes)§1-4转轴公式(Rotationofaxes)yOz为过截面上的任一点建立的坐标系Oyzy1z1y1Oz1为yOz转过角后形成的新坐标系顺時针转取为–号逆時针转取为+号已知截面对坐标轴轴y,z轴的惯性矩和惯性积求截面对y1，z1轴惯性矩和惯性积.(PropertiesofPlaneAreas)转轴公式为Oyzy1z1αIαIIIIIyzzyzyy2sin2cos221αIαIIIIIyzzyzyz2sin2cos221αIαIIIyzzyzy2cos2sin211显然zyzyIIII11(PropertiesofPlaneAreas)二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principalaxes&principalmomentofinertia)主惯性轴(Principalaxes)：总可以找到一个特定的角0,使截面对新坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0为主惯性轴.主惯性矩(Principalmomentofinertia)：截面对主惯性轴y0,z0的惯性矩.形心主惯性轴(Centroidalprincipalaxes)：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.αIαIIIyzzyzy2cos2sin211形心主惯性矩(Centroidalprincipalmomentofinertia)：截面对形心主惯性轴的惯性矩.(PropertiesofPlaneAreas)求出后，就确定了主惯性轴的位置.（1）主惯性轴的位置设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有02cos2sin200yzzyIII由此zyzyzIIItg220（2）主惯性矩的计算公式224)(21200yzzyzyzyIIIIIII（3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴.过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即00minmaxzyIIII(PropertiesofPlaneAreas)求形心主惯性矩的方法（1）确定形心的位置（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴y,z,计算Iy,Iz,IyziyyIIizzIIiizyyzII（3）确定形心主惯性轴的方位)2(tan2zyyzIII10（4）计算形心主惯性矩224)(2200yzzyzyzyIIIIIII1niiniiiAyAy11niiniiiAzAz11(PropertiesofPlaneAreas)例题5计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.过形心C选一对座标轴yz轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz2035AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyz107010121[]101201510120121[323yI424mm.100])25(70(PropertiesofPlaneAreas)mm104.27844zI093.1)2(tan20IzIyIyzzyII02在第三象限6.227208.1130分别由y轴和z轴绕C点逆时针转113.8º得出.形心主惯性轴y0,z0mm103.97]1070)35()25(0[]1012020150[44yzI(PropertiesofPlaneAreas)101012070形心主惯形矩为C4020yzy00=113.8°z0mm103214)(21244220yzzyzyyIIIIIImm104.574)(21244220yzzyzyzIIIIII(PropertiesofPlaneAreas)例题6在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴.(b=1.5d)解：（1）建立坐标系如图.（2）求形心位置.db2dyzOdddddAAzzAAAyyiiii177.04π34π200222（3）建立形心坐标系，求CyICzICCzyIyCzCC(PropertiesofPlaneAreas)422422322685.0])177.05.0(4π64π[)177.0(312)2(5.1])5.0([1dddddddddzdAIzAIIIIyyyyyCCC圆圆矩矩圆矩443513.064π122)5.1(ddddIIICCCyyz圆矩0CCzyIdb2dyzOyCzCCCzyC便是形心主轴CCzyII便是形心主惯性轴所以