附录A 平面图形的几何性质

附录A平面图形的几何性质•§A-1形心和静矩•§A-2惯性矩惯性积惯性半径•§A-3平行轴定理•§A-4转轴公式主惯性矩•小结§A-1形心和静矩一、形心与静矩1．形心：平面图形的几何中心CdAxCxyCyxyOAAyyACdAAxxACd2．静矩AyAxAxSAySdd1)图形对x、y轴静矩分别为：2)静矩可为正、负或零，单位：m3、cm3、mm3；3)上式积分号内，y、x为一次方，故又称静矩为面积的一次矩。3．静矩与形心的关系AxSAySASxASyCyCxyCxC或//1)2)图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零；3)图形的对称轴就是形心轴。二、组合图形的形心与静矩1．组合图形：CiiyiyCiixixxASSyASS由简单图形(矩形、圆形)组合而成的图形2．组合图形的静矩：叠加法3．组合图形的形心：iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy////§A-1形心和静矩rOxy例I-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。ydyCdAyC三、例题22yr解：1)直接由定义求静矩AxAySdyyrAd2d22302232)d(2ryyrySrx2)求形心坐标在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条ASyxC2/3/223rr34r§A-1形心和静矩解：1)将此图形分为I、II、III三部分yCyxO150例I-2求图示图形的形心。2001030010y1Cx1IIIIII以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴取为x轴。iCiiCAyAy)30010(2102000)30010(2150)(510)(200mm8.382)由对称性可知0Cx§A-1形心和静矩xyO§A-2惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩和惯性积1．惯性矩AyAxAxIAyIdd22xy图形对x、y轴惯性矩分别为：dAr2．惯性积AxyAxyId图形对x、y一对正交轴的惯性积：3．极惯性矩AAId2pr图形对O点的极惯性矩为：4．惯性矩与极惯性矩的关系AAId2prxyIIAAyxd)(22平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。5．惯性矩、极惯性矩和惯性积的性质1)惯性矩和极惯性矩恒为正值，惯性积可为正、负或零，单位：m4、cm4、mm4；2)若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；3)惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩；4)如将dA看成质量，则Ix、Iy和Ip分别为平面体对x、y和原点的转动惯量。§A-2惯性矩惯性积惯性半径b/2b/2h/2h/2xyC例I-3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dydAy解：平行于x轴取微面积：同理ybAddAxAyId22/2/2)d(hhyby123bhIx123hbIy0xyI因为x、y轴均为对称轴：§A-2惯性矩惯性积惯性半径xydO例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意正交直径轴的惯性矩Ix、Iy以及对圆心的极惯性矩Ip。解：1)首先求图形对圆心的极惯性矩IpAAId2pr2/02)d2(dyrrdrOr在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环其面积：rrd2dA324pdI2)求图形对直径轴的Ix和Iy由于圆形对于任意直径轴均同样对称又根据yxIIIp，故yxII6424pdIIIyx§A-2惯性矩惯性积惯性半径二、惯性半径和组合图形的惯性矩1．惯性半径AIiAIiyyxx//图形对x、y轴的惯性半径分别为：单位：m、cm、mm。2．组合图形的惯性矩yiyxixIIII空心圆(内径d，外径D，a=d/D)的惯性矩和极惯性矩)1(6464644444aDdDIIyx)1(3232324444paDdDI§A-2惯性矩惯性积惯性半径§A-3平行轴定理一、平行轴定理1．公式推导OxyCdAxCyCabyxxCyCAxAyId2ACCAyayad)2(22ACACAAyAyaAadd2d22AaIICxx2abAIIAbIICCCyxxyyy2同理：CxACACAIAyAyAAd0dd2，，已知：，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、IxyCCCCyxyxIII、、ACAyad)(22．注意1)xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；2)b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。二、例题例I-5已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点且与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3AaIIxxC211231223bhhbh363bh解：由于x1、x2均非形心轴，不能直接用平行轴定理，需利用形心轴过渡。AaIICxx2222323623bhhbh43bh§A-3平行轴定理例I-6求图示T型截面对形心轴的惯性矩。303055解：1)先求形心的位置取参考坐标系如图，则iiiCCAyAyz0mm75.23212211AAyAyA2)再求截面对形心轴的惯性矩433mm115601230512530CyI)()(22212121AaIAaIICCCzzz21yCz由平行轴定理得4222121mm34530])([])([21AyyIAyyICzCzCCC1y1C2y2CzC2yCzCzC1§A-3平行轴定理xOy§A-4转轴公式主惯性矩一、转轴公式1．公式推导AxAyId211已知：Ix、Iy、Ixy、a，求1111yxyxIII、、dAy1x1aaDEBACy1x1yx||1ACy||||EBADaasincosxyAxAxyId)sincos(21aaAAxxyyd)sincossin2cos(2222aaaaaaaa22sincossin2cos1yxyxxIIII||1OCx||||BDOEaasincosyx同理，利用：)sin(cossincos)(sincossin2cos2222111aaaaaaaaxyyxyxxxyyyIIIIIIIIaaaa2cos2sin2sin2cos22sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIaIIIIIIaIIIIII2．注意a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。利用三角变换得到xOyay1x1CIIIIyxyx11§A-4转轴公式主惯性矩二、主轴与主惯性矩1．主轴的相关概念1)主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；2)形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴；3)形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。2．主轴方位1)利用主轴的定义——惯性积等于零进行求解；2)主轴与x轴的夹角：yxxyIII22tg0a3)由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0。§A-4转轴公式主惯性矩3．主惯性矩1)主惯性矩大小：22minmax422xyyxyxIIIIIII所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3)与主轴方位的对应关系：2)求惯性矩极值所在方位，得到与主轴相同方位。1xI求a0时只取主值：|2a0|≤/2。若IxIy，由x轴转过a0到达x0轴，有；若IxIy，则。注意：a0为正值时应逆时针旋转。max0IIxmin0IIx4)任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。§A-4转轴公式主惯性矩三、例题解：根据对称性可知：例I-7求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。xyaaCx1y1a11yxyxIIIIyxyxIIII1112311bhIIIIyxyx由此可知x1、y1轴也是形心主轴，011yxI因此，正方形任意形心轴均为形心主轴，任意正多边形都具有这种性质。§A-4转轴公式主惯性矩例I-8试求图示图形的形心主轴和形心主惯性矩。12010101070IIIIIICxyy0x0a0解：图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy。将整个图形分成I、II、III三个矩形，整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为xxxxIIIIIIIIII2)1060()560(1210602346mm1008.51212010346IIIIIImm1084.1yyyyIIII46IIIIIImm1031.2xyxyxyxyIIII426.122tg0yxxyIIIa'28270oaminmax00IIIIyx，464622minmaxmm1064.0mm1028.622xyyxyxIIIIIII形心主惯性矩大小∵0＜a0＜/4，Ix＞Iy，∴自x轴逆时针旋转27o28'到主轴x0：§A-4转轴公式主惯性矩小结一、本章重点•平面图形的静矩与形心求法(叠加法)；•简单图形(圆、矩形)对形心轴的惯性矩、极惯性矩和惯性半径；•利用平行轴定理求组合图形的惯性矩和惯性积；•形心主轴、形心主惯性矩的定义及其求法。小结二、思考题•截面对形心轴的静矩如何？如何判断一轴过形心？•比较形心与重心、静矩与合力矩(重力)、惯性矩与对轴的转动惯量、极惯性矩与对点的转动惯量的关系？•使用平行轴定理时应注意什么？•图形对所有平行轴的惯性矩中，哪一个最小？•证明图形对过同一点的任意正交轴的惯性矩之和为常数；•证明主惯性矩是过同一点所有惯性矩中的极值；•证明正三角形所有形心轴均为形心主轴，并求其形心主惯性矩大小。小结