附录A 截面图形的几何性质

NFAsFAPTIPTLGINFLLEA2PAIdA附录A截面图形的几何性质为什么要研究截面图形的几何性质形心、静矩及其相互关系惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径移轴定理转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法结论与讨论一为什么要研究截面图形的几何性质◆实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。◆不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。为什么要研究截面图形的几何性质二、形心、静矩及其相互关系一形心对于等厚度的平板，其重心坐标AAcdAttdAyyAAcdAttdAzz若constAydAyAcAzdAzAc形心坐标AyAzSd形心、静矩及其相互关系yzOdAzyAzAySd图形对于y轴的静矩图形对于z轴的静矩CyAzSCzAyS量纲：[长度]3，可正、可负、可为零AAyASyAzCd形心、静矩及其相互关系CyAzSAyAzSdAzAySdCzAyS静矩与形心坐标之间的关系AAzASzAyCd已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩形心轴的概念；对称轴为形心轴形心、静矩及其相互关系对于组合图形112211112211nnzziCCnCniCiinnyyiCCnCniCiiSSAyAyAyAySSAzAzAzAzniiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111例1求形心位置解：建立参考坐标系oyzyz0zs802012010201202211ccyzAzAs3310216mm0AsyzcmmAsZyc45220120102163对于由型钢组合的截面图形，必须查表确定各个图形的面积、形心坐标等参数！！！例I.1解同样可求得组合图形形心位置和静矩的计算例I.2求形心C的位置例I.3求截面形心C的位置二、惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径AyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2－图形对y轴的惯性矩－图形对z轴的惯性矩－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径yzOdAzyrA量纲：[长度]4AIiyyAIizz－图形对y轴的惯性半径－图形对z轴的惯性半径惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径yzOdAzyAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2＞0＞0＞0＞0,＜0惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径若有一轴为对称轴，则0yzIyzOdAzyAyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIP惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径yzOdAzyrA例2已知：圆截面直径d求：Iy，Iz惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径drdrdACzyrrAdπ2d64πdπ2214202drrrd32dπ32DI44PA2PzyAdr212III)dD(64II44zy惯性矩、惯性积、极惯性矩与惯性半径已知：矩形截面b×h求：Iy，Iz12hbI3z12bhI3yCzybhzdzdAydydA例I.4求对对称轴y和z的惯性矩Iy=?例I.5求形心轴的惯性矩例I.5解如何求解?有对称截面图形的惯性积z’Iyz’=?思考题判断的正负yzI当图形对于某一特定轴的惯性矩或惯性积已知时，如何求图形对于与之平行的另一轴的惯性矩或惯性积？如何求组合图形的惯性矩或惯性积？平行移轴定理移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。移轴定理AyzOdAzyO´移轴定理y1=y＋bz1=z＋a已知：Iy、Iz、Iyz求：Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211z1y1ab移轴定理y1=y＋bz1=z＋aAzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211A1z1yA21zA21yAdazbyIAdbyIAdazIabAbSaSIIAbbS2IIAaaS2IIyzyz1z1y2zz1z2yy1yAyzOdAzyO´z1y1ab移轴定理abAbSaSIIAbbS2IIAaaS2IIyzyz1z1y2zz1z2yy1y如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，abAIIAbIIAaIIyz1z1y2z1z2y1y移轴定理因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。在所有互相平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩最小假定x,y为形心轴则有以下结论：若只沿轴或轴移动，惯性积不变例求右图对形心轴的惯性矩、惯性积。解：4633211096.212201201212020mmIIIzzz21yyyIII462311002.335201201220120mmIy462321082.5)2560(201201212020mmIy461084.8mmIz0yzIzy例I.6计算对于形心轴yc的惯性矩Iyc例I.6解例I.7求组合图形对形心轴的惯性矩及惯性积z=0.51m例I.8求对y,z轴及形心轴yc,zc轴的惯性积例I.8解思考题bzhczy已知123bhIz求zcI转轴定理所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。转轴定理sinzcosyysinycoszz11zyOdAzyz1y1已知：Iy、Iz、Iyz、求：Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211转轴定理AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211cos2Isin22IIIyzzy1z1ysin2Icos22II2IIIsin2Icos22II2IIIyzzyzy1zyzzyzy1ysinzcosyysinycoszz11zyOdAzyz1y1P22211ddIArAzyIIIIAAzyzy转轴定理图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩]2cosI2sin)II(21[2dIdyzzy1y0]2cosI2sin)II(21[2dId,0yz0zy1y0时令0dd0dd11zyII，zyOdAzyz1y1主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩zyyzIII2tan20909000和的两个角度可得相差从而确定了一对互相垂直的坐标轴y0轴z0轴。当改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0或=0+90。时，二者分别为极大值或极小值。22min0max04212yzzyzyzyIIIIIIIIIzyOdAzyz1y1主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩Iy0、Iz0－主惯性矩坐标轴y0轴z0轴称为主惯性轴。对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。0cos2Isin22III0yz0zy0z0y主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0当图形有一根对称轴时，对称轴即为主轴。主惯性轴、主惯性矩及形心主惯性轴主惯性轴（主轴）——对应的惯性积Iyz=0主惯性矩——对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——过形心的主惯性轴形心主惯性矩——对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性平面——形心主惯性轴与轴线构成注：对称轴是形心主惯性轴纵向对称面是形心主惯性平面作业I-5,8,9(b),10确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法1将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。2以形心为坐标原点，设Oyz坐标系y、z轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz和Iyz。4计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。3确定形心主轴的位置，即形心主轴与z轴的夹角。确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题图形尺寸如图所示，求：图形的形心主矩确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题1．将所给图形分解为简单图形的组合确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题2.建立初始坐标，确定形心位置yzyCm10501027010301030010150105010270033333333131iiiCiiCAyAymm90确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题yzyCyzIy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(Ⅱ)4-93-3-93-3m12105010270121030010304745mm10037m10037..确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法例题yzIz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)12103010300-93-312100721050-93-34844mm10042m10042..-3-36210301030010904-3-362m1050102701060结论与讨论怎样判断主轴？结论与讨论怎样判断主轴？aa结论与讨论2cos2sin211xyyxyxIIII怎样判断主轴？aaxy结论与讨论2cosI2sin2IIIxyyxyx11结论与讨论怎样判断主轴？作业I-5,8,9(b),10