平行四边形的判定典型例题及练习

1平行四边形一、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。④对角线相互平分的四边形是平行四边形。2、平行线等分线段和三角形中位线定理（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3、三角形的重心（1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。2二、典型例题讲解模块1：平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD中，CFAE,分别是DAB，BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。例题2：如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形ADE。（1）求CAE的度数。（2）取AB的中点F，连接CF、EF。试证明四边形CDEF是平行四边形。例题3：如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，FE,是BD上的点，且DFBE.求证：四边形AECF是平行四边形。变式练习：1.如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点，连接DEGDFGEF,,,，求证：四边形DEFG是平行四边形。2.如图，已知DEAB//，DEAB，DCAF，求证：四边形BCEF是平行四边形。33.如图，四边形ABCD中，BCAD//，作DCAE//交BC于E。ABE的周长是cm25，四边形ABCD的周长是cm37，那么ADcm。题型2：添加条件证明平行四边形例题4：如图，在四边形ABCD中，ACBDAC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件不能是（）A、BCADB、OCOAC、CDABD、180BCDABC例题5：A、B、C、D在同一平面内，从①CDAB//；②CDAB；③ADBC//；④ADBC这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种。变式练习1.(如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A、DOOBOCOA,B、CDABBCDBAD//,C、BCADBCAD,//D、COAOCDAB,2.已知在四边形ABCD中，CDAB//，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、BCADB、BDACC、CAD、BA3.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE,AF,CE,CF,添加条件，可以判定四边形AECF是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）44.四边形ABCD中，BCAD//，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是（横线上只需填一个你认为合适的条件即可）题型3：平行四边形的判定与性质的综合应用例题6：已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。（1）求证：COFB；（2）求证：四边形AOBF是平行四边形。例题7：如图所示，O为等边ABC内任意一点，BCOD//，ACOE//，ABOF//，并且D、E、F分别在AB、BC、AC上，求证：BCOFOEOD．例题8:如图所示，BD是ABC的角平分线，点E,F分别在边BC,AB上，且ACEFABDE//,//.（1）求证：AFBE；（2）若6,60BDABC,求四边形ADEF的面积。变式练习1.如图，P是等边三角形ABC外一点，且ABPD//,BCPE//，ACPF//，若ABC的周长是36，则PEPFPD=。52.如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O,BDAE，BDCF，垂足分别为FE,，求证：四边形AECF为平行四边形。3.如图所示，在平行四边形ABCD中，60C,NM,分别是BCAD,的中点，CDBC2.（1）求证四边形MNCD是平行四边形；（2）求证MNBD3.题型4：平行四边形中的动点问题例题18：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动．试探究：几秒后四边形ABQP是平行四边形？例题19：如图，在四边形ABCD中，BCAD//,6AD，16BC，E是BC的中点。点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单6位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动。点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当运动时间t为多少秒时，以QP,DE,为顶点的四边形是平行四边形。变式练习1.如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，______秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．2.如图，在四边形ABCD中，BCAD//，90B,cmAB8，cmAD24，cmBC26，点P从点A出发，以Scm/1的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以scm/3的速度向点B运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，使CDPQ//和CDPQ,分别需经过多少时间？为什么？模块2：三角形的中位线题型1:直接利用三角形的中位线性质7例题1：如图，在ABC中，5AB,6BC,7AC,点D,E,F分别是ABC三边的中点，则DEF的周长为（）A、9B、10C、11D、12例题2：如图，ABC周长为1，连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2018个三角形的周长为（）A、20162B、20172C、20182D、20192变式练习1.已知三角形的3条中位线分别为cm3、cm4、cm6，则这个三角形的周长是（）A、cm3B、cm26C、cm24D、cm652.如图所示，EF是ABC的中位线，BD平分ABC,交EF于D,若2DE，则EB。题型2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题例题3：如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若CEF的面积为212cm，则DGFS的值为（）A、24cmB、26cmC、28cmD、29cm例题4：如图，ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（）8A、5.4B、5C、5.5D、6变式练习1.如图，在ABC中，ACAB，NM,分别是ACAB,的中点，ED,为BC上的点，连接DN,EM。若cmAB13，cmBC10，cmDE5，则图中阴影部分面积为（）2cm。A、25B、35C、30D、42第1题第2题2.如图，在ABC中，90BAC,6,4ACAB,点ED,分别是BC,AD的中点，BCAF//交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为。题型3：与三角形中位线有关的动点问题例题4：如图，四边形ABCD中，90A,8AB,6AD,点NM,分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点FE,分别为MNDM,的中点，则EF长度的最大值为（）A、8B、6C、4D、5变式练习1.如图，已知四边形ABCD中，PR,分别是BC，CD边上的点，FE,分别是RPAP,的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（）9A、EFP的周长不变B、线段EF的长与点P的位置无关C、点P到EF的距离不变D、APR的大小不变2.如图，已知四边形ABCD中，90C,点P是CD边上的动点，连接AP，FE,分别是AB,AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（）A、线段EF的长先减小后增大B、线段EF的长不变C、线段EF的长逐渐增大D、线段EF的长逐渐减小题型4：三角形中位线性质的综合应用例题5：如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，AECE，点F在边AB上，BCEF//.（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。变式练习1.如图所示，已知AO是ABC中BAC的平分线，AOBD的延长线于点ED,是BC的中点。求证：)(21ACABDE.10课后作业一、选择题。1.下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D.对角线相互平分的四边形是平行四边形2.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A、BCADCDAB,//B、DCBA,C、ACCDAB,//D、CDCBADAB,3.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A、①，②B、①，④C、③，④D、②，③第3题第4题第5题4.如图，ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若6BC，则DF的长是（）A、3B、2C、25D、45.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC,ANBN于点N,且10AB,3,15MNBC,则AC的长是（）A、12B、14C、16D、186.如图，在ABC中D，E分别是ACAB,的中点，点,FG在BC上，且CGBFBC44,EF与DG相交于点O，若40DFE，80DGE，那么DOE的度数是（）11A、100B、120C、140D、160第6题第7题第8题7.如图，在四边形ABCD中，CDAB//,5BCAD，7DC，13AB，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿DCAD向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动。当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A、s4B、s3C、s2D、s18.如图，平行四边形ABCD中，cmAB6，cmAD10，点P在AD边上以每秒cm1的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒cm4的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以BQDP,,,四点组成平行四边形的次数有（）A、1次B、2次C、3次D、4次二、填空题。9.如图，在ABC中，ED,分别是边ACAB,的中点，50B，先将ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为1A，则1BDA的度数为。10.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出平行四边形。11.如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，BCAD,90BAC,将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四12边形，则能拼出平行四边形个。12.已知直角坐标系内有四个点)0,0(O,)0,3(A,)1,1(B,)1,(xC，若以,,,,CBAO为顶点的四边形是平行四边形，则x=。13.如图，在等边三角形ABCD中，cmBC6，射线BCAG//，点E从点A出发沿射线AG以scm/1的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以scm/2的速度运动。如果点FE,同时出发，设运动时间为)(st，当t=s时，以FECA,,,为顶点的四边形是平行四边形。三、解答题