电容器与电场的能量

[例]一无限大各向同性均匀介质平板，厚度为d，相对介电常数为r，内部均匀分布体电荷密度为0的自由电荷。求：介质板内、外的、、。解：带电体有面对称，故0r，dX0S以x=0处的面为对称，过场点作正柱形高斯面S，设底面积为S0S0xint0dqSDS两底侧SDSDSDSddd=0=2DS02dx00022SxDSxD0垂直于平板。PEDPED、、2dxdSDS0002dD20r0DEr00xr0r1xP0002dDEEP1r0均匀场EP1r0=00r，dX0SS0x2dxxD02dxdD20B在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面：(A)高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。(B)高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。(C)由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。(D)即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。电介质q2π4rqDrerqDˆπ42[例]带电金属球(R，q)，浸在油中(r)，求球外的场强及金属球表面处油面上的束缚电荷q´。解：在介质内作高斯面SqSDSd由对称性qrDSDS2π4dEEE020202r0π4π4π4rqrqrq11rqqqq1r(q与q´反号)+++++++++++RrrSSdrerqDEˆπ42r0q´另一种解法见下页qqDRr解：利用的高斯定理D，，，22π4π4drqDqrDqSDSrrqDErrqDˆπ4ˆπ42r0r02，n2rrr000π41111RqDDDEDPqqqRqPPnP，，11π4πcosr2高斯面[例]一个带正电的金属球，半径为R，电量为q，浸在油中，油的相对介电常数为r，求球外的电场分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷q。可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空时的倍。r1B一导体球外充满相对介电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度σ为(A)ε0E(B)ε0εrE(C)εrE(D)(ε0εr-ε0)EC在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示。当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强与空气中的场强相比较，应有(A)E＞E0，两者方向相同。(B)E＝E0，两者方向相同。(C)E＜E0，两者方向相同。(D)E＜E0，两者方向相反。0EE[例]两平行放置的金属板间原为真空，分别带等量异号电荷+0、-0，板间电压为U0，保持板上电荷不变，将板间一半空间充入介质(r)，求：板间电压。解：作高斯面int01dqSDS侧右左SDSDSDSDSdddd1111=0=0SDSDS11dS111Dr011E022ESd+0-0+1+2S++++++---------------++++++nˆe+0++++++++++++dEdEU0r2120221EE0r0120r12ESd-0+1+2nˆeS---------------0r12UdEdEU2121EEr12SSS0212200r200rr11212[例]导体球(Q)置于均匀各向同性介质中，如图示求：场的分布。解：S1)作高斯面S000dRrQRrSDS由对称性2π4drDSDS020π40RrrQRrD01r2rR0R1R2rR0导体内部E1=0P1=0R0rR1，r1内rerQEˆπ421r02rerQPˆπ4121r01r02rerQEˆπ422r03rerQPˆπ4122r2r3rerQEˆπ4204R1rR2，r2内rR2P4=08.4.1孤立导体的电容电容只与几何因素和介质有关固有的容电本领3.单位:Q1.孤立导体的电势2.定义8.4电容器、电容(CapacitorsandCapacitance)法拉()F微法()μF皮法()pFQC1F=10-6F1pF=10-12F欲得到1F的电容，孤立导体球的半径R为多少？[例]求真空中孤立导体球的电容。设球带电为Q解：导体球电势导体球电容介质几何由孤立导体球电容公式知RRQ0π4QCR0π4问题0π41Rm1099E310R腔内导体的表面与壳的内表面的形状及相对位置8.4.2电容器的电容UQC1.电容器：2.电容：由静电屏蔽可知：导体壳内部的场只由腔内的电量Q和几何条件及介质决定(相当于孤立)内表面-QQ电介质由两块用电介质隔开的金属极板构成。它们彼此靠得很近，使两板间电场不受外部带电体的影响。电介质既起绝缘作用又起增大电容的作用。典型的电容器平行板d球形柱形3.电容器电容的计算设Q电容的计算R1R2R1R2EUUQC(1)平行板电容器(忽略边缘效应)SQEr0r0SQdEdUr0dSUQCr0+++++-----drQQSS(2)圆柱形电容器lLQlrlDπ2rLQDπ2rLQDEr0r0π22112r0r0lnπ2dπ2dRRRRLQrrLQrEU)/ln(π212r0RRLUQC设外筒内表面和内筒外表面分别带电-Q和+Q，忽略边缘效应。R1R2rrED、(3)球形电容器2r0π4rQE21dπ4d2r0RRrrQrEU1221r0π4RRRRUQCRR1RC0π42R令OR1孤立导体球的电容OR1R2r21r012π4)(RRRRQ串联：C1C221111CCC各电容器所带电量相等，总电压为各电容器电压之和iCC11并联：C1C2各电容器电压相等，总电量Q为各电容器电量之和21CCCiCCUQ-Q-QQ11CQU22CQU8.4.3电容器的连接一、电容器的串、并联二、电容器的两个主要指标：电容、耐压能力电介质的击穿在强电场作用下，电介质分子中的正负电荷变成可以自由移动的电荷，电介质变为导体。击穿场强：电介质材料所能承受的不被击穿的最大场强。也叫介电强度。电容器是一种常用的电工和电子学元件。如：在交流电路中电流和电压的控制；发射机中振荡电流产生；接收机中的调谐；整流电路中的滤波等等。三、电容器的应用并联时总电容增大，但电容器组的耐压能力取决于耐压能力最低的电容；串联时总电容减小，但电容器组的耐压能力提高了。[例(习题8-17)]求平行板电容器的电容。解：1.设QQ-Q-2.求E两极板间：D=13)2()3,1(203,1区区EE3.求U332211dEdEdEUlldr00)(4.求CUSUQCr0lldSCABSrldint0dqSDSDS右底=S右底2讨论r0lldSC1.两极板间介质充满l=ddSdSC0r2.介质为空气dSC000rC3.C可视厚度为(dl)的空气平行板电容器和厚度为l的介质平行板电容器的串联lSCldSC20121111CCC若把电介质板换成金属板，在缝内0E在金属板内0E两板电势差ldU0CldSUSUQC0'电介质板换成金属板后，电容增大了，但为了绝缘，仍需放电介质。lrdSS讨论dSCdSC22r0201dSrr1r2Sd1d2极板电介质x思考(2)圆柱形电容器lLQlrlDπ2rLQDπ2rLQDEr0r0π22112r0r0lnπ2dπ2dRRRRLQrrLQlEU12r0lnπ2RRLUQC设外筒内表面和内筒外表面分别带电–Q和+Q，忽略边缘效应。R1R2rrED、[例]圆柱形电容器。半径为R1、R2，长为l的圆筒形导体(lR1、R2)，其间充有半径为a、b、长为l的同轴圆柱形电介质()，求：C。123+QQ解：设Q，)3.2.1(π2区rD)2(π2)3.1(π20rrErrrrrrRbbaaRdπ2dπ2dπ22100r11120lnπ2baRRrEUdR1R2ab123由的高斯定理：Dr11120lnπ2baRRlUlC讨论(1)充满介质a=R1，b=R212lnπ2RRlC(2)空气1200lnπ2RRlC0rCC(3)C相当于三个电容的串联101lnπ2RalCablClnπ22bRlC203lnπ2[例]神经细胞可以传递电信号。如图所示神经细胞由带树突的细胞体和轴突组成，它连接着人大脚趾的压力感觉细胞和脊髓中的神经，信号由树突进入细胞体，再从轴突传递出去。这种神经细胞的轴突像一个由薄膜构成的细长管子，半径为5m，长度为1m，膜的厚度为8.0nm，膜的相对介电常数为7。已知轴突膜内外侧具有90mV电势差。求：轴突膜内外侧所带电荷电量是多少？轴突树突细胞体解：膜的厚度与轴突半径相比非常小，所以膜的任一小部分都可看成平面，因此可以把轴突等效成平行板电容器。dSCr023r0mF107.7dSCRlSπ2F104.27CC102.28CVq利用柱形电容器及的高斯定理计算答案相同。D电容法在非电量电测法中的应用——电容法测液面高度在被测液体介质中放入两个同轴圆筒形极板。大圆筒内半径为R，小圆筒外半径为r，圆筒的高度为H，该圆柱形电容器的电容量随筒内液面高度h的变化而改变。试写出电容量C与液面高度h的关系式。0hH2R2rrrRhHClnπ201rRhClnπ2r02rRHhCCCln1π2r021(3)球形电容器2r0π4rQE21dπ4d2r0RRrrQlEU1221r0π4RRRRUQCRR1RC0π42R令OR1孤立导体球的电容OR1R2r21r012π4)(RRRRQ球形电容器1r2101111111π4baRbaRCR1abR2(1)充满介质a=R1，b=R2121r0111π4RRC1212r0π4RRRR(2)充满空气121200π4RRRRC=rC0讨论解：(1)由高斯定理01ERr，rerqERrRˆπ42021，rerqERrRˆπ42r032，[例]半径为R1的金属球电量为q，外面同心地放置一内外半径分别为R3和R4的金属球壳，它本身带电为Q。两者之间有一层内外半径分别为R2和R3的电介质，相对介电常数为r。求：(1)内球电势；(2)内外球电势差；(3)把外球壳接地，求该电容器电容。R1R2R3R4r043ERrR，rerQqERrˆπ4204，内球电势：2132dπ4dπ4d2r0