集合-复数-逻辑用语专题练习含答案作业

专题集训·作业(六)一、选择题1．(2014·湖北八市联考)已知M＝{(x，y)|y－3x－2＝3}，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝()A．－6或－2B．－6C．2或－6D．－2答案A解析注意到可将式子y－3x－2＝3变形为3x－y－3＝0，则M∩N＝∅意味着直线3x－y－3＝0(去掉点(2,3))与直线ax＋2y＋a＝0无公共点．若两直线平行，则3a＝－12≠－3a，即a＝－6；若直线ax＋2y＋a＝0恰过点(2,3)，则a＝－2，故选A.2．(2014·武汉部分学校调研)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析依题意，若綈p则q是假命题，若q则綈p是真命题，所以若綈q则p是假命题，若p则綈q是真命题，故p是綈q的充分而不必要条件．3．已知抛物线y2＝2px的焦点为F(－3,0)，准线与x轴的交点为K，若抛物线上一点A满足|AK|＝2|AF|，则点A的横坐标为()A．－3B．3C．6D．－6答案A解析由于抛物线y2＝2px的焦点为(－3,0)，所以p2＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，准线方程为x＝3.过点A作准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝2|AF|＝2|AM|，即|KM|＝|AM|.设A(x，y)，则|y|＝－(x－3)，将其代入y2＝－12x，解得x＝－3.4．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞)D．[－3,3)答案B解析由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，m1≠2m－33，得m≠－3，故选B.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(a－c)(sinA＋sinC)＝(b－c)sinB，则角A的大小为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C解析由已知得a－cb－c＝sinBsinA＋sinC，结合正弦定理，得a－cb－c＝ba＋c，即b2＋c2－a2＝bc.再由余弦定理，可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝π3.6．(2014·十堰市五校联考)已知函数f(x)＝lnx－14ax2－x，若在区间(1,2)内任意两个实数p，q(p≠q)，不等式fp－fqp－q0恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2]B．(－∞，－12]C．(－∞，0]D．[12，＋∞)答案B解析任意实数p，q∈(1,2)且p≠q，有fp－fqp－q0恒成立，等价于当x∈(1,2)时，f′(x)0恒成立，即f′(x)＝1x－12ax－10恒成立，由此得a2x2－2x在x∈(1,2)时恒成立．记g(x)＝2x2－2x＝2(1x－12)2－12，当1x∈(12，1)时，－12g(x)0，于是a≤－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图像交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案D解析由题意知，P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限内的点，则m0，n0，n＝2m，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋4m2)≥16(当且仅当m2＝4m2，即m＝2时取等号)，故线段PQ长的最小值是4.8．(2014·九江六校联考)在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，－3)，点Q为曲线C：y＝2－4－x2上一点，若点P满足OP→＝λOA→＋μOB→(其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1)，则|PQ|的最小值是()A．4B.145C.125D．2答案D解析因为点P满足OP→＝λOA→＋μOB→(其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1)，所以BP→＝λBA→，所以点P在直线AB上．因为A(－4,0)，B(0，－3)，所以直线AB的方程为3x＋4y＋12＝0.又由y＝2－4－x2变形得x2＋(y－2)2＝4(0≤y≤2)，故曲线C是以M(0,2)为圆心，2为半径的半圆，而点M到直线AB的距离为|0＋4×2＋12|32＋42＝42，即直线AB与半圆x2＋(y－2)2＝4(0≤y≤2)相离，|PQ|的最小值为圆心到直线AB的距离减去半径，故|PQ|的最小值是4－2＝2.9．设有4个数的数列a1，a2，a3，a4，前3个数构成一个等比数列，其和为k，后3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零，对于任意固定的k，若满足条件的数列的个数大于1，则k应满足()A．k94B．k94C．k＝94D．k≥94答案A解析因为后3个数成等差数列且和为9，故可依次设后3个数为3－d,3,3＋d.又前3个数构成等比数列，则第一个数为3－d23，即3－d23＋3－d＋3＝k，化简得d2－9d＋27－3k＝0，因为满足条件的数列的个数大于1，需要Δ0，所以k94，故选A.10．(2014·南昌一模)已知定义在区间[－3,3]上的函数y＝f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，对于函数y＝f(x)的图像上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0.若实数a，b满足f(a2－2a)＋f(2b－b2)≤0，则点(a，b)所在区域的面积为()A．8B．4C．2D．1答案A解析由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所以由f(a2－2a)＋f(2b－b2)≤0，得f(a2－2a)≤－f(2b－b2)＝f(b2－2b)．又(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，所以定义在区间[－3,3]上的函数y＝f(x)是减函数，所以－3≤a2－2a≤3，－3≤b2－2b≤3，a2－2a≥b2－2b，即－1≤a≤3，－1≤b≤3，a－ba＋b－2≥0.其表示的平面区域如图阴影部分所示．故点(a，b)所在区域的面积S＝12(4×4)＝8.11．(2014·烟台模拟)对于定义域为I的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足：①f(x)在[m，n]上是单调函数；②当定义域是[m，n]，f(x)值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y＝f(x)的“好区间”．已知函数P(x)＝t2＋tx－1t2x(t∈R，t≠0)有“好区间”[m，n]，则当t变化时，n－m的最大值是()A.233B.33C.12D.14答案A解析因为P(x)有“好区间”，所以[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)，P(x)＝t2＋tx－1t2x＝t＋1t－1t2x在(0，＋∞)和(－∞，0)上是单调递增的，因此Pm＝m，Pn＝n，即m，n是P(x)＝x的两个不同的根，即方程t2x2－(t2＋t)x＋1＝0有两个同号的不等实数根，m＋n＝t2＋tt2＝1＋1t，mn＝1t20，Δ＝(t2＋t)2－4t20，所以t1或t－3.n－m＝n＋m2－4nm＝－31t－132＋43，当t＝3时，n－m取最大值233.二、填空题12．已知体积为3的正三棱锥V－ABC的外接球的球心为O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，则三棱锥外接球的体积为________．答案163π解析由OA→＋OB→＋OC→＝0，可知球心O是正三棱锥的底面中心，设正三棱锥的底面边长为a，则VV－ABC＝13×34a2×33a＝3，所以a3＝123，所以球的体积为43π×(33a)3＝163π.13．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝35，则sin(α－π12)＝________.答案210解析∵α为锐角，∴α＋π6∈(π6，2π3)，∴sin(α＋π6)＝1－cos2α＋π6＝45.∴sin(α－π12)＝sin[(α＋π6)－π4]＝sin(α＋π6)cosπ4－cos(α＋π6)sinπ4＝45×22－35×22＝210.14．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－1an＋1，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝________.答案－20112解析a1＝1，a2＝－11＋1＝－12，a3＝－1－12＋1＝－2，a4＝－1－2＋1＝1，…，数列{an}是周期为3的周期数列，∴S2014＝S2013＋a2014＝671×(－12－2＋1)＋1＝－20112.15．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．答案223解析因为BB1∥DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角的大小相等，作DO⊥平面ACD1于点O，连接OD1，由等体积法得VD－ACD1＝VD1－ACD，即13S△ACD1·DO＝13S△ACD·DD1.设AB＝a，则S△ACD1＝12AC·AD21－12AC2＝12×2a×322a＝32a2，S△ACD＝12AD·CD＝12a2.所以DO＝S△ACD·DD1S△ACD1＝23a，记DD1与平面ACD1所成角的大小为θ，则sinθ＝DODD1＝13，所以cosθ＝223.16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最小值是________．答案－43解析由题意得圆C的方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆心C(4,0)．设直线y＝kx＋2上存在一点P，两圆的公共交点为Q，则由题意得|CQ|＋|PQ|≥|CP|，即|CP|≤2.故问题可转化为(x－4)2＋y2＝4与y＝kx＋2的交点问题．方法一联立方程y＝kx＋2，x－42＋y2＝4，得(k2＋1)x2＋(4k－8)x＋16＝0，所以Δ＝(4k－8)2－16×4(k2＋1)≥0，解得－43≤k≤0，所以k的最小值是－43.方法二由点(4,0)到直线的距离公式，得|4k＋2|k2＋1≤2.所以－43≤k≤0，所以k的最小值是－43.17．设点A1，A2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P，使得PO⊥PA2，其中点O为坐标原点，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．答案(22，1)解析由题设知∠OPA2＝90°，设P(x0，y0)(x00)，以OA2为直径的圆的方程为(x－a2)2＋y2＝a24，与椭圆C的方程联立，得(1－b2a2)x2－ax＋b2＝0，易知，此方程的1个实根为a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有1个实根为x0，由根与系数的关系，得ax0＝b21－b2a2.由此得0b2a1－b2a2a，化简得0a2－c2c21，即01－e2e21，得12e21，故e的取值范围是(22，1)．