2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(天津卷.理)

四川蓬安中学蒋明斌收集整理2005年普等学校招生全国统试一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的体积公式)()()(BPAPBAP334RV球如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径)(BAP=)()(BPAP柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V柱体=Sh是P，那么n次独立重复试验中恰好发其中S表示柱体的底面积，生k次的概率h表示柱体的高。Pn（k）=CnPk(1-P)n-k一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。（1）设集合RxxxA,914,RxxxxB,03,则A∩B=(A)]2,3((B)]25,0[]2,3((C)),25[]3,((D)),25[)3,((2)若复数iia213（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（A）-2(B)4(C)-6(D)6(3)给出下列三个命题①若1ba,则bbaa11②若正整数m和n满足nm,则2)(nmnm③设),(11yxP为圆9:221yxO上任一点，圆2O以),(baQ为圆心且半径为1.当四川蓬安中学蒋明斌收集整理1)()(2121ybxa时,圆1O与圆2O相切其中假命题的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3(4)设、、、为平面，lnm、、为直线，则m的一个充分条件是(A)lml,,(B),,m(C)m,,(D)mnn,,(5)设双曲线以椭圆192522yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(A)2(B)34(C)21(D)43(6)从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222nymx中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|11且|y|9}内的椭圆个数为(A)43(B)72(C)86(D)90(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为(A)12581(B)12554(C)12536(D)12527(8)要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度(9)设)(1xf是函数)1()(21)(aaaxfxx的反函数，则使1)(1xf成立的x的取值范围为(A)),21(2aa(B))21,(2aa(C)),21(2aaa(D)),[a(10)若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0,21(内单调递增，则a的取值范围是(A))1,41[(B))1,43[(C)),49((D))49,1(四川蓬安中学蒋明斌收集整理第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上。（11）设Nn,则12321666nnnnnnCCCC（12）如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________（13）在数列{an}中,a1=1,a2=2,且)()1(12Nnaannn则100S=_____（14）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,则OC=（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）（16）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线21x对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________________三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值（18）（本小题满分12分）已知)0,0,(1221baNnbabbabaaunnnnnn。（Ⅰ）当ba时，求数列nu的前n项和nS（Ⅱ）求1limnnnuu（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111CBAABC中，aBAAAACABACAABA1111,,，侧面11BCCB与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱AACB111、的中点四川蓬安中学蒋明斌收集整理（Ⅰ）求AA1与底面ABC所成的角（Ⅱ）证明EA1∥平面FCB1（Ⅲ）求经过CBAA、、、1四点的球的体积（20）（本小题满分12）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）（21）（本小题满分14分）抛物线C的方程为)0(2aaxy，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足)10(012且kk。（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足MABM，证明线段PM的中点在y轴上（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标1y的取值范围（22）（本小题满分14分）设函数)(sin)(Rxxxxf.（Ⅰ）证明xkxfkxfsin2)()2(,其中为k为整数；（Ⅱ）设0x为)(xf的一个极值点，证明2040201)]([xxxf；（Ⅲ）设)(xf在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,,,,21naaa,证明),2,1(21naann数学（理）参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部四川蓬安中学蒋明斌收集整理分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．D2．C3．B4．D5．C6．B7．A8．C9．A10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分.11．)17(61n12．213．260014．)5103,510(15．476016．0三、解答题：17．本小题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.解法一：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得,2cotB从而.21tanB解法二：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A，由222abccb，得.41532133411)(1)(22bcbcba所以.215ba①由正弦定理5123152sinsinAabB.由①式知,ba故∠B∠A，因此∠B为锐角，于是152sin1cos2BB，从而.21cossintanBBB18．本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式、求数列的前n项和的基本方法、求数列的极限等基础知识，考查运算能力.满分12分.（I）解：当nnanaba)1(,时，这时数列}{na的前n项和.)1(432132nnnannaaaaS①四川蓬安中学蒋明斌收集整理①式两边同乘以a，得.)1(4321432nnnannaaaaaS②①式减去②式，得.)1(2)1(132nnnanaaaaSa若aanaaaSaannn1)1(1)1()1(,1，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(aaaananaanaaaaSnnnnn.若1a，.2)3()1(32nnnnSn（II）解：由（I），当ba时，nnana)1(，则.)1(lim)1(limlim11annanaanuunnnnnnn当ba时，])()(1[211nnnnnnnabababababbaaa).(11)(1111nnnnbnbaababa此时，.111nnnnnnbabauu若0ba，aababbababauunnnnnnnnnnn)(1)(limlimlim111.若,0ab.1)()(limlim1bbabbaauunnnnnn19．本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线.又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点因此，由三垂线定理，A1A⊥BC.∵A1A//B1B，且EG//B1B，EG⊥BC于是∠AGE为二面角A—BC—E的平面角，即∠AGE=120°由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°，四川蓬安中学蒋明斌收集整理所以，A1A与底面ABC所成的角为60°，（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E//FP.而FP平面B1FC，A1E//平面B1FC，所以A1E//平面B1FC.（Ⅲ）解：连结A1C，在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B，由已知得A1A=A1