连续时间傅立叶变换

本章的主要内容:连续时间傅立叶变换;傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;傅立叶变换的性质;系统的频率响应;第四章连续时间傅立叶变换ThecontinuoustimeFourierTransform在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要解决的问题。§4.0引言反过来非周期信号--------周期信号T周期延拓我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。在时域可以看到周期信号--------非周期信号ab(a)014TT(b)018TT0kTa0202kTa04040§4.1非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换Representationofnonperiodicsignals---CFT一.从傅立叶级数到傅立叶变换周期矩形脉冲，当---频谱的幅度；---谱线间隔;的包络不变。0T0TkTa周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号.考查的变化:它在时可以是有限的.txtx)(~)(~tx:周期性矩形脉冲信号tx:等于一个周期内的，具有有限持续期)(~txdtetxaTtjkk00如果令＝则有dtetxjXtj与周期信号傅立叶级数相比，这表明周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本.又非周期信号的傅立叶变换非周期信号的频谱根据傅立叶级数表示：当0T时，002dT0k于是有：1()()2jtxtXjedktjkktjkktjkkejkXejkXTeatx0000000211~txtx)(~dtetxjXtj也叫作x(t)的频谱周期信号的频谱正比于非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱()的包络。kTa二.傅立叶变换的收敛既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示讨论周期趋于无穷时的极限而来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件：这表明所有能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。2Dirichlet条件()xtdta.绝对可积条件1若2()xtdt则存在()Xjb.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。()xtc.在任何有限区间内，()xt只有有限个第一类间断点。这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两组条件并不等价。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身,在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现像。()xt()xt三常用信号的傅立叶变换：1.()(),0atxteuta01()atjtXjeedtaj221()Xja1()Xjtga()xtt01aa01/a()Xj22a22aa()Xj2.(),0atxtea我们看到:实偶信号的傅立叶变换是实偶函数,此时可以用一幅图表示信号的频谱.(),0atxtea对此例,()()XjXj()0Xj()Xj2a1aaa()xtt100220112()atjtatjtaXjeedteedtajaja3.()()xtt()()1jtXjtedt这表明中包括了所有的频率成分,所有频率分量的幅度、相位都相同.因此单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义0()tt()Xj0()t()ht()t14.矩形脉冲:()xt111111111122()2()2()TjtTSinTTSinTTXjedtTSaTTSincT()xtt1T1T()xtt12T12T11将中的代之以再乘以,即是相应周期信号的频谱()Xj0k01T01110100022()kSinkTTTaSakTTTkT()Xj12T01,1tT0,1tT()Xj001T12T12T14T10Tk5.()Xj10(具有此频率特性的系统称为理想低通滤波器)WW()XjWW10()xttW0W和矩形脉冲情况相比,可以发现信号在时域和频域间存在一种对偶关系.1()()()2WjtWSinWt与上例对偶的图如下:同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种相反的关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主瓣越宽,反之亦然.由例五可以想到，如果，将趋向于一个冲击。§4.2周期信号的傅立叶变换FourierTransformofPeriodicSignals到此为止,周期信号用傅立叶级数表示,非周期信号用傅立叶变换表示.在涉及周期信号通过LTI系统时,会给分析带来不便.由于周期信号不满足Dirichlet条件,因而不能直接从定义出发,建立其傅立叶变换表示.于是当周期信号表示为傅立叶级数时0()jktkkxtae就有0()2()kkXjak这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其强度正比于傅立叶级数系数.ka例1：0001()[]2jtjtxtSinteej00()[()()]Xjj()Xj00jj02.0001()cos[]2jtjtxttee00()[()()]Xj3.()()nxttnT22222111()()TTjktTkTTatedttdtTTT22()()kXjkTT()Xj000周期信号的傅立叶变换存在条件1.周期信号不满足绝对可积条件。2.引入冲激信号后，周期信号的傅立叶变换是存在的。3.周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。4.3连续时间傅立叶变换的性质讨论连续时间傅立叶变换的性质,旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系,同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。②()()XjXj表明是奇函数()Xj*()()XjXj()Xj表明是纯虚函数若则同样可以得到txtx若还是实函数，则同样可以得到tx③若实函数()()()eoxtxtxt则有()()()eoXjXjjXj()()eeXjxt()Re[()]eXjXj()()oojXjxt()[()]oXjImXj④例:的频谱:()ut()()()eoututut1()2eut10()utt1/20()eutt-1/21/20()outt01()()2utSgnt4.时域微分与积分differential&integral若()()xtXj则()()dxtjXjdt(可将微分运算转变为代数运算)(将1()()2jtxtXjed两边对微分即得该性质)t由时域积分特性从()1t也可得到:1()()utj1()()(0)()txdXjXj（时域积分特性）5.时域和频域的尺度变换Scaling若()()xtXj则1()()xatXjaa当时,有1a()()xtXj尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压缩a倍，反之,信号在时域中压缩a倍，则其带宽相应扩展a倍。其含义不难理解：信号的波形在时域中压缩a倍，即信号随时间变化加快a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，也就是说频谱展宽a倍。从理论上证明了时域与频域的相反关系。时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）abjeaXabatx1)(?)(batx6.对偶性频域微分特性7.帕斯瓦尔定理§4.4卷积性质jXjXtxtxjXtxjtx21212211,X)(证明：dtxxtxtxty2121jXjXdexjXdejXxdtdetxxdtedtxxdtetytyFjjtjtjtj1212212121鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。二.系统互联时的频率响应:1.级联因为所以2.并联:因为所以+三.LTI系统的频域分析法:根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析,其过程为1.由2.根据系统的描述，求出3.4.见例4.15，4.16，4.17，4.18(滤波器理解),4.19§4.5相乘性质:(调制性质)两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。载波信号§4.6傅立叶变换性质与傅立叶变换对列表(P234)cc§4.7由线性常系数微分方程表征的系统linear&constantcoefficientdifferentialequationkkMkkkkNkkdttxdbdttyda00设由上述LCCDE描述的LTI系统的频率响应为求解一个LTI系统的频率响应一般有两种方法：对LCCDE两边进行傅立叶变换有由于()()()YjXjHj由于是LTI系统的特征函数，当然有时，系统的响应，表明在时求解此时的LCCDE可以求得。()()jtytHje()Hjjte()jtxte()jtxte第一种：第二种：jXjbjYjaMkkkkNkk00NkkkMkkkjajbjH00即：可见由LCCDE描述的LTI系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由LCCDE描述的LTI系统，当需要求得其时，往往是由反变换得到的(比如时域分析时)。对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行.()ht()Hj由微分方程所描述的系统，通过求频率响应可直接求出其单位冲击响应。进而求出系统对特定输入的响应。见例4.254.264.8小结Summary1.如何通过连续时间傅立叶变换将连续时间信号(包括周期、非周期)分解为复指数信号分量的线性组合。2.通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。卷积特性是LTI系统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。3.对LTI系统建立了频域分析方法，对由LCCDE描述的LTI系统，可以很方便地由LCCDE得其。稳定的LTI系统可以通过其频率响应来完全描述.jH