24二重积分的计算

第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章xbad][设bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0xD机动目录上页下页返回结束一、利用直角坐标计算二重积分ydcxo)(2yx)(1yxyydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21机动目录上页下页返回结束oxy说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则机动目录上页下页返回结束xy211xyo221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y机动目录上页下页返回结束例2.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束xyoD性质：设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动目录上页下页返回结束例5.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动目录上页下页返回结束xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆ρ=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域D为krkrkkkr机动目录上页下页返回结束kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10Dyxfd),(dd即Df)sin,cos(dddd机动目录上页下页返回结束kkkkkrDo)(1)(2)(1o)(2)()(21d)sin,cos(f设,)()(:21D则Dfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20d)(oD机动目录上页下页返回结束思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(Doyx)(Doyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动目录上页下页返回结束例6.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:aD原式Dd02ae)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角dd20d由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束例7.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:aDdd4422DaVcos2022d4aa)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为则xy)(1yxxDdc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaD机动目录上页下页返回结束DDfyxf)sin,cos(d),(则极坐标系情形:若积分区域为ddDo)(1)(2机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便：积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性及其他性质机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求.d)()(d110yyfxfxIx提示:交换积分顺序后,x,y互换oyx1xy1yxIxyfxfyd)()(010dy10dxI2yyfxfxxd)()(d11010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动目录上页下页返回结束axy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题1.给定改变积分的次序.ay0dayx22a2a2aoxy机动目录上页下页返回结束3261sin4ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203yx2.计算其中D为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203xy及直线,03yx解：平面闭区域.03xysin2roxy2436d机动目录上页下页返回结束