【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《平面向量应用举例》

【2014年高考会这样考】以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合．第4讲平面向量应用举例抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练向量在平面几何中的应用向量在三角函数中的应用向量在解析几何中的应用考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】向量在解析几何中的应用向量在平面几何中的应用向量在三角函数中的应用选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、高考中平面向量与三角函数的交汇问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔____________(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔______________(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．x1y2－x2y1＝0.x1x2＋y1y2＝0.考点梳理2．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．3．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．一个手段助学微博两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定2．(2013·银川模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()．A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数3．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是()．A．4,0B．16,0C．2,0D．16,44．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝()．A．2B．4C．5D．105．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是_______．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解240xy＋－＝考点自测BAAD12345【例1】►在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则△ABC的形状一定是()．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【审题视点】解考向一向量在平面几何中的应用根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系．【方法锦囊】对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明．由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，ABC得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝02AC→·BA→＝0，加法三角形法则∴AC→⊥BA→，∴∠A＝90°又根据已知条件不能得到|AB→|＝|AC→|，故△ABC一定是直角三角形．【训练1】(2013·厦门二检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心因为|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，解所以O为三角形ABC的外心；由NA→＋NB→＋NC→＝0，得NA→＋NB→＝－NC→＝CN→，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，得PA→·PB→－PB→·PC→＝PB→·CA→＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案C考向一向量在平面几何中的应用【审题视点】考向二向量在三角函数中的应用【例2】►设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解(1)因为a与b－2c垂直，根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题．【方法锦囊】(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝kπ－π4(k∈Z)时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)由tanαtanβ＝16，得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥b.【训练2】已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝（cosx2，－sinx2），且x∈0，π2.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．解(1)a·b＝cos3x2·cosx2－sin3x2·sinx2＝cos2x.|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos2x＝2cos2x＝2|cosx|.∵x∈0，π2，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.考向二向量在三角函数中的应用【训练2】已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝（cosx2，－sinx2），且x∈0，π2.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．解(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，考向二向量在三角函数中的应用即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.λ∵x∈0，π2，∴0≤cosx≤1.①当λ0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－32，解得λ＝12.③当λ1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求【例3】►已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．考向三向量在解析几何中的应用(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．解【审题视点】第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；由(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0，得|PC|2－14|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.化简得x216＋y212＝1.【例3】►已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．考向三向量在解析几何中的应用【审题视点】第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解(2)因PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NP→)2－NF→2＝NP→2－1，P是椭圆x216＋y212＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，所以NP→2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17(2)工具作用：利用a⊥ba·b＝0，a∥ba＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.【例3】►已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC→＋12PQ→·PC→－12PQ→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．【方法锦囊】考向三向量在解析几何中的应用(1)载体作用；向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．＝－13(y0＋3)2＋20.因y0∈[－23，3]，所以当y0＝－3时，NP→2取得最大值20，故PE→·PF→的最大值为19；当y0＝23时，NP→2取得最小值为13－43(此时x0＝0)，向量在解析几何中的作用:故PE→·PF→的最小值为12－43.【训练3】已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，解考向三向量在解析几何中的应用则PA→＝(a,3)，AM→＝(x－a，y)，MQ→＝(－x，b－y)，由PA→·AM→＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①由AM→＝－32MQ→，得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)＝32x，32y－b，∴x－a＝32x，y＝32y－32b，∴a＝－x2，b＝y3.把a＝－x2代入①，得－x2x＋x2＋3y＝0，整理得y＝14x2(x≠0).规范解答8——高考中平面向量与三角函数的交汇问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年高考试题分析，考查平面向量的有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现，主要是以三角函数、解析几何等知