【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《排列与组合》

【2014年高考会这样考】1．考查排列组合的概念及公式的推导．2．综合应用排列、组合知识解决简单的实际问题.第2讲排列与组合抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练排列组合考向一考向二考向三有限制条件的排列组合问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】排列、组合的综合应用组合问题排列问题选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．排列(1)排列的概念：从n个元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．(3)排列数公式＝．(4)全排列数公式＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．不同顺序n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)mnAmnAnnA考点梳理2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cmn表示．(3)组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.(4)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.(1)排列数公式Amn＝n！n－m！(2)组合数公式Cmn＝n！m！n－m！利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．助学微博排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．一个区别两个公式助学微博四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()．A．C34·C44B．C38－C34C．2C14·C24＋C34D．C38－C34＋12．C14＋C25＋…＋C1720等于()．A．C1721B．C1721－1C．C1821－1D．C18213．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()．A．152B．126C．90D．544．(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()．A．4种B．10种C．18种D．20种5．(2013·宿州模拟)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测DBBB3612345【例1】►有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．解(1)法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A88种，故共有6·A88＝241920(种)排法．法二(位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920(种)排法．法三(等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题法四(间接法)A99－3·A88＝6A88＝241920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880(种)排法．[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题[方法锦囊]解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．【训练1】2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()．A．60B．48C．42D．36解析从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A共有C23A22＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：“捆绑”A和女生B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A22A22＝24(种)排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法；第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A22＝12(种)排法．综上，不同的排法种类有24＋12＋12＝48(种)．答案B[审题视点]这是一个排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．考向一排列问题[方法锦囊]解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．【例2】►某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解(1)一名女生，四名男生．故共有C15·C48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)．[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：C12·C411＋C22·C311＝825(种)或采用排除法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选：C412；第二类女队长不当选：C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.故选法共有：C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题[方法锦囊]解决组合问题两类题型的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题要谨防重复与漏解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．【训练2】汽贸公司有甲、乙、丙三种不同型号的汽车分别为20辆，10辆，10辆，某运输公司要从中购买5辆，问下列情况下分别有多少种选购方式？(每两辆汽车都视为不同元素)(1)选购甲2辆，乙2辆，丙1辆．(用数字表示)(2)选购甲至少2辆．(用组合数表示即可)(3)选购每种型号的汽车至少1辆．(用组合数表示)解(1)从20辆甲型车中选2辆有C220种选法；从10辆乙型车中选2辆有C210种选法；从10辆丙型车中选1辆有C110种选法；共有选购方式：C220·C210·C110＝85500种．(2)从40辆车中任选5辆共有C540种，没有甲型汽车的选法为C520种，只有1辆甲型汽车的选法C120C420种，至少有2辆甲型汽车的选法为：C540－C520－C120C420种．(3)分三类：第1类：甲型车只有1辆时，选法为：C120C110C310＋C120C310C110＋C120C210C210种，第2类：甲型车只有2辆时，选法为：C220C210C110＋C220C110C210种，第3类：甲型车有3辆时，选法为C320C110C110种，共有选法：2C120C110C310＋2C220C210C110＋C120C210C210＋C320C110C110种．[审题视点]解组合问题时，常从特殊元素入手．考向二组合问题[方法锦囊]解决组合问题两类题型的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题要谨防重复与漏解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．(1)可直接用分步乘法计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必放入球，有几种放法？”[审题视点]考向三排列、组合的综合应用【例3】►有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有两个盒不放球，有多少种放法？解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，放法有C14C24C13A22＝144(种)．(3)先从四个盒子中任意拿走两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34C12＋C24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84(种)．排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【方法锦囊】【训练3】(2013·潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是________．解析由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C13×A25×C12×A22＝240.答案240(1)可直接用分步乘法计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必放入球，有几种放法？”[审题视点]