【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《等差数列及其前n项和》

【2014年高考会这样考】1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题．2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题．第2讲等差数列及其前n项和抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列的前n项和公式等差数列及前n项和的性质考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】等差数列及前n项和性质的应用等差数列的判定与证明等差数列基本量的计算选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、整体思想在等差数列解题中的应用单击标题可完成对应部分的学习考点梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，通常用字母__表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝_________.3．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则_______________，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为___________________2同一个常数a1＋(n－1)d.d公差Sn＝na1＋an2Sn＝na1＋nn－12d.考点梳理4．等差数列的常用性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且_________.(2)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*)．(3)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则____________________(m，n，p，q∈N*)．(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_______的等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(6)S2n－1＝(2n－1)an.(7)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(n－m)dam＋an＝ap＋aqmdA＝a＋b2利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝na1＋an2.一个推导助学微博二种方法等差数列的两种证明方法：(1)证明an＋1－an＝d或an－an－1＝d(n≥2)；(2)证明an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．提醒：以上两种证明方法的关键是n的范围，即是否包括了a2－a1也是相同的常数1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．72．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．553．(2012·重庆)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()．A．7B．15C．20D．254．(2011·全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()．A．8B．7C．6D．55．(2012·广东)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解CABD1234521－n【审题视点】考向一等差数列的判定与证明(1)利用等差数列的定义得到关系式2a3＝a5＋a4，代入等比数列的通项公式求得q；(2)利用等差数列的判断方法进行证明．【例1】►(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，(1)解由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明法一对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．【审题视点】考向一等差数列的判定与证明(1)利用等差数列的定义得到关系式2a3＝a5＋a4，代入等比数列的通项公式求得q；(2)利用等差数列的判断方法进行证明．【例1】►(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．方法锦囊(2)证明法二对任意k∈N＋，2Sk＝2a11－qk1－qSk＋2＋Sk＋1＝a11－qk＋21－q＋a11－qk＋11－q＝a12－qk＋2－qk＋11－q，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝2a11－qk1－q－a12－qk＋2－qk＋11－q＝a11－q[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝a1qk1－q(q2＋q－2)＝0，因此，对任意x∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．【训练1】►已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．证明(1)考向一等差数列的判定与证明∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.∴n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n－72则an＝1＋1bn＝1＋22n－7，设函数f(x)＝1＋22x－7易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内均为减函数∴结合函数f(x)的图象可得，当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.单击单击单击1yx172yx1172yx72等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．方法锦囊【审题视点】考向二等差数列基本量的计算【例2】►设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解(1)由题意知第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；【方法锦囊】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．S6＝－15S5＝－3，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7（2）因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为(－∞，－22]∪[22，＋∞).第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．a6＝S6－S5＝－8，【审题视点】考向二等差数列基本量的计算【训练2】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.【方法锦囊】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．第(2)问注意k的取值范围，必须为正整数。由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求．【审题视点】考向三等差数列及前n项和性质的应用【例3】►在等差数列{an}中:(1)若a4＋a17＝20,求S20；(2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，求n.解析(1)由等差数列的性质知a1＋a20＝a4＋a17，利用前n项和公式Sn＝na1＋an2及等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题．【方法锦囊】一般地，运用数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只要当序号之和相等、项数相同时才成立．∴S20＝202(a1＋a20)＝202(a4＋a17)＝202×20＝200.(2)依题意知：a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.又Sn＝na1＋an2，即286＝n×222，∴n＝26.【训练3】(1)已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝____.(2)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，则其n项和Sn＝____.解析(1)∵{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.(2)因为a4＋a6＝a3＋a7，则a3a7＝－16，a3＋a7＝0，所以a3＝4，d＝－2或a3＝－4，d＝2.所以数列的前n项和是Sn＝n2－9n或Sn＝－n2＋9n.答案(1)45(2)n2－9n或－n2＋9n考向三等差数列及前n项和性质的应用方法优化8——整体思想在等差数列解题中的应用揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，考查等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式，其中常常将求和公式Sn＝na1＋an2与等差数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”结合来命题，考查形式主要是选择题、填空题，难度为中等．揭秘3年高考【真题探究】►(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．A．58B．88C．143D．176思路1：【教你审题】求出首项与公差的关系式，再代入前n项和公式．思路2：利用等差数列的性质从整体上求解．一般解法：设数列{an