【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《随机事件的概率》

【2014年高考会这样考】1．考查互斥事件、对立事件的概率求法．2．考查条件概率的求法．第3讲随机事件的概率抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练频率与概率事件的关系与运算概率的几个基本性质考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】互斥事件、对立事件的概率随机事件的频率与概率条件概率B级全面突破概率与统计的综合性问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲选择题填空题解答题、、、321选择题填空题解答题、、、321考点梳理1．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的___________稳定在某个_____上，把这个____记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．频率fn(A)常数常数考点梳理2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______A(或称事件A包含于事件B)_______(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B________并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的________(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_______________且_____________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1包含B⊇AA=B并事件事件A发生事件B发生考点梳理3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：______________.(2)必然事件的概率P(E)＝___.(3)不可能事件的概率P(F)＝___.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝________0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)．1－P(B)．两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．一个关系助学微博两种方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用方法二就显得比较简便．1．(人教A版习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()．A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球2．(2013·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为()．A．0.40B．0.30C．0.60D．0.903．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()．A.136B.19C.536D.16考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解DAD123单击转4-5题4．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()．A.18B.14C.25D.125．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解B45单击转1-3题28145考向一随机事件的频率与概率【例1】►某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝{－2，t94，，94≤t102，，t≥102，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．考向一随机事件的频率与概率【审题视点】由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，【方法锦囊】概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．分别计算出相应的频率，由频率可估计概率解（1）所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，【例1】►某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝{－2，t94，，94≤t102，，t≥102，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．显题干/隐去【训练1】某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：(1)计算表中击中10环的频率；(2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率．射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率mn考向一随机事件的频率与概率解(1)表中击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93，0.89，0.906.(2)估计该运动员射击一次命中10环的概率为0.9.考向二条件概率【例2】►(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610【审题视点】(1)先求出离散型随机变量的分布列，再根据期望、方差公式求解解(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.考向二条件概率【例2】►(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610【审题视点】(2)利用概率性质及条件概率公式求解．解(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤X900PX≥300＝0.60.7＝67故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.【方法锦囊】条件概率的求法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.考向二条件概率【训练2】(2011·湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.解析圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.答案2π14【例3】►据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．考向三互斥事件、对立事件的概率解法一【审题视点】(1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和．(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)，∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(