随机信号分析 2.3功率谱密度

随机信号分析2.3功率谱密度本节课的整体设计与构思确定信号：随机信号：()xt()Xt()()xtX()()XXRS信号信号的时域与频域分析：傅立叶变换维纳—辛钦定理2.3.1随机过程的功率谱密度问题的引入：1.对于随机信号，是否可以应用频域分析方法？2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？3.随机信号的频域特征是什么？回顾：傅立叶变换存在条件一个确定信号在满足狄利赫利条件，且绝对可积的情况下，即：它的频谱密度存在。()xtdt()()jtXxtedt1()()2jtxtXed傅立叶变换()X回顾：傅立叶变换信号能谱密度存在的条件是它具有有限的能量。即：2()xtdt21lim()2TTTPxtdtT2()X信号的平均功率：1.随机过程样本的功率谱密度随机过程的一个样本曲线，从中截取2T长的一段，称为截段函数。()Xt()Txt()()0TxttTxttTt0-TTx(t)2.3.2功率谱密度的性质性质1：是非负实函数。性质2：如果是实平稳随机过程，是偶函数。21()[lim()]2XTTSEXT()XS()Xt()XS()0XS()()XXSS2.3.3联合平稳随机过程的互功率谱密度])()(21[lim)]([limdttytxTEPTPETTTXYXYT]),(21[limdtttRTTTXYTdTTXTXEYXT2)],(),([lim21*定义互功率谱密度为：)],(),([21lim)(*TXTXETSYXTXYdSQXYXY)(21则同理，有：)],(),([21lim)(*TXTXETSXYTYXdSPYXYX)(21YXXYPP且二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度F互相关函数互谱密度F定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为)(XYS),(ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。三、互谱密度的性质性质1：)()()(*YXYXXYSSS证明：deRSjXYXY)()(＝deRjYX)(（令）deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS性质2：)](Re[)](Re[XYXYSS)](Re[)](Re[YXYXSS证明：deRSjXYXY)()(djRXY)]sin()[cos(dRSXYXYcos)()](Re[dRXYcos)()](Re[XYS（令）同理可证)](Re[)](Re[YXYXSS性质3：)](Im[)](Im[XYXYSS)](Im[)](Im[YXYXSS证明：类似性质2证明。性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有0)(YXS0)(XYS证明：若X(t)与Y(t)正交，则0),(),(2121ttRttRYXXY所以0)()(YXXYSS性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和，则XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以YXmmtYtXE)]()([21deRSjXYXY)()(demmjYX)(2YXmm)(21（）性质6：)(),(XYXYSttRA)(),(YXYXSttRA例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:)(XYR0009)(3eRXY求互谱密度，。)(XYS)(YXS