随机变量函数的分布

3.4随机变量函数的分布一、单个随机变量函数的分布y()(()(()fxff设是一个随机变量，是一元波雷尔可测函数，它的定义域包含随机变量＝)的值域。这样，复合函数＝()=)是定义在样本空间上的函数。可以证明：也是一个R.V。一般解法()()(())FyPyPfy而事件：{()}{:((}fyfy)即：{:((}{:({:()}}fyxfxy))即：{(}{{:()}}fyxfxy)所以有(){()}{{:()}}()FyPfyPxfxy()...(),()(){{:()})()}(fxyRVpdfPxfyPxfxyPxdx设为连续型，其为，则由得：F其中f(x)y是积分区域{x：f(x)y}的简写。如果是连续型分布，则利用d.f与p.d.f之间的关系，可得：()yF'()()PyFy【例1】(0,1)...()NpdfPy2设～，求＝的【解】20,0()102yyPyeyy定义11222....0,01(),02()2nnxnRVpdfxPxxexnP如果的为那么，称R.V.服从自由度为的长方分布。2..()RVn记为：～(0,1)N～由此可知：本例中22(1)～一般地，求连续型R.V函数的p.d.f有如下的定理：1...()()(,)()()..RVpdfPxyfxfyfpdf设是一个连续型，其为，又函数严格单调，其值域，（可能或＝），其反函数有连续的导数，那么，＝的为：定理11'(())[()],(,)()0,(,)PfyfyyPyy【例2】..(0,1)..RVNpdf设～，求=-2In的。(0,1)N-=～2..(,)..RVNpdf-如果～，求=的。【解】【例3】【解】21(0,)(y)20,yeyP其它二．多维R.V.函数的分布1.预备知识【引理】R.V.相互独立对一切一元波雷尔点集有P=.【定理*】如果n个R.V.相互独立,且是一元波雷尔函数，那么也相互独立.12,,...,nAAA1122(,,...,)nnAAA1122()()...()nnPAPAPA12,,...,n()(1,)ifxin1122(),(),...,()nnfff2.多维随机变量的函数的分布设=是一个n维R.V.，是n元波雷尔可测函数，作为上的函数也是R.V.，如果=的联合p.d.f.为，如何求出的p.d.f.呢？同前述同类：然后求导即得.12(,,...,)n12(,,...,)nfxxx12(,,...,)n1212()(,,...,)((),(),...,())nnff12(,,...,)nPxxx12(,,...,)nf12()()((,,...,))nFyPyPfy121212(,,...,)(,,...,):(,,...,)nnnPxxxfxxxy1()()PyFy3.和与商的分布定理1（和的分布）：设为二维连续型R.V.，其联合p.d.f.为p(x,y),,则有p.d.f.或(,)()(,)pzpzyydy()(,)Zpzpxzxdx()()()pzpzypydy()()()Zpzpxpzxdx注：如果与相互独立，则或【例4】设，求的p.d.f.2211222221212()()()()1[2]2(1)2121p(,)21xxyypxyep221212(,)(,,,,)N【解】()(,)Pzpxzxdx2211222221212()()()()1[2]2(1)212121xxxxpedxp21222112222221122122e2221122,21可见：ZN221212(,)N2(,)iiiN(1,)in12,,...,n2111(,)nnniiiiiiN【注】当与相互独立时，即=0时，一般的，如果，且相互独立，那么.【例5】设与相互独立，，，求的p.d.f..1,01P0,xx由题意：其它(0,1)U(0,1)U()pz【解】1,01Py0,y其它zPxPzxdx+显然在[0,2]内取值，则P1001xPzxdxdx2011,01,120,zzdxzdxz其它z0z12z120,z，，其它100()0()xxpxxex定义2如果R.V.的p.d.f.为.那么称R.V.服从参数为的分布.记为R.V.分布.记为R.V..【例6】设，.且与相互独立，那么.1212112,00,0zzezPzz(,)——(,)1(,)2(,)12(,)【解】12,注1：本例说明：分布对第一参数具有可加性：如果，，且相互独立.那么.注2：在中，，,则这是.即.由分布对第一参数具有可加性知：对参数n具有可加性.——(,)ii(1,)in12,,...,n1212...(...,)nn(,)2n12122210()2()200nxnxexnpxx2()n21(,)()22nn——注3：由前面推导知：，则由分布的可加性知：这里我们用到一个结论：如果相互独立，f(x)为波雷尔可测函数，那么也相互独立.(0,1)iN22(1)i222212...()nn12,,...,n1122(),(),...,()nnfff定理2（商的分布）设为二维连续型R.V.，其p.d.f.为p(x,y).那么商的p.d.f.为.【推论】当如果与相互独立时，(,)()(,)pzypyzydy()()()pzpyzpyydy定义3如果R.V.的p.d.f.为那么称R.V.服从参数为（n,m）的分布，记为n——第一参数，也称为第一自由度或分子自由度.m——第二参数，也称为第二自由度或分母自由度.221222()()02200nmnnmnmnmxnxmpxxnmxF——..RVF（n,m)F——分布的密度曲线为0yx定义4如果的p.d.f.为那么称服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t—分布.记为.如果记.那么由极限的计算可以证明：..RV..RV1221()2()(1)()2nnxpxnnn..RV()()ntxpx221lim()()2xnntxex0yxt——分布的密度曲线为-3-2-11230.10.20.30.4【例7】设与相互独立，且，，试求的概率密度函数.【解】..RV2()n2()mnm(,)nFnmm()pz【例8】设，，又与相互独立，试求的p.d.f..(0,1)N2()nn()pz【解】tnn4.多维R.V.的变换的分布这里只讨论连续型情况：设为n维连续型R.V.，其p.d.f.为,又设，均是上的连续函数，组成一个m维，，，如何求的联合.其一般方法是：先求的联合d.f.G.，归结为计算积分：12(,,...,)n12(,,...,)npxxx12(,,...,)iinyfxxx(1,)imnR12..(,,...,)mRV12(,,...,)iinf(1,)im12(,,...,)m12...(,,...,)mpdfgyyy12(,,...,)m12(,,...,)myyy121122(,,...,)(,,...,)mmmGyyyPyyy1121212212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)nnmnmPfyfyfy11212122121212(,,...,)(,,...,).....................(,,...,)...(,,...,)...nnmnmnnfxxxyfxxxyfxxxypxxxdxdxdx（*）式中有如下情况：①当m=n=1时，前面已经解决过.②当m=1,n1时，前面也解决过.③当m=n1时，这是一类重要的情况，有如下定理：（*）见后定理设连续型随机向量具有联合p.d.f.为，.是到的一个一一映射，如果具有逆变换：连续，且有连续的偏导数，那么的联合p.d.f.为12(,,...,)n12(,,...,)npxxx12(,,...,)iinyfxxx(1,)innRnR1112221212(,,...,)(,,...,).....................(,,...,)nnnnnyfxxxyfxxxyfxxx1112221212(,,...,)(,,...,).....................(,,...,)nnnnnxhyyyxhyyyxhyyy12(,,...,)iinf1,in12(,,...,)n1211212121212(,,...,)((,,...,),...,(,,...,))(,,...,)(,,...,)0(,,...,)nnnnnnnxxxphyyyhyyyyyyGyyyyyyG12(,,...,)ngyyy其中G为11221212((,,...,),(,,...,),...,(,,...,))nnnnfxxxfxxxfxxx的值域.【例9】设与相互独立，同具有参数为的指数分布，试求的联合分布密度函数g（u,v）.2,0,01(,)0,uueuvvguv其它..RV1,XY【解】顺便得出z，y的边际分布密度函数：,0g0,0uzueuuu21,01g0,0yvvvv,zyguvgugv显然：y.z与相互独立.即+与相互独立