材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

工程力学Engineeringmechanics1第六章应力状态理论和强度理论工程力学Engineeringmechanics2前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或者“哪一点哪一个方向面上”的应力。如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度条件？如何解释受力构件的破坏现象？对组合变形杆应该如何进行强度计算？要全面了解危险点处各截面的应力情况。引言工程力学Engineeringmechanics3§6-1应力状态理论的概念和实例定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。一点的应力状态的四要素：（1）、应力作用点的坐标；（2）、过该点所截截面的方位；（3）、应力的大小；（4）、应力的类型。二、研究应力状态的目的对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件，其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。一、一点的应力状态工程力学Engineeringmechanics4但对复杂受力杆件，很难通过实验来建立强度条件。故需要先研究危险点处的应力状态，并找出最大应力值及其所在截面的方位，并建立强度理论提供必要的依据。危险截面危险点危险点处危险方位破坏形式强度理论（假说）§6-1应力状态理论的概念和实例三、研究一点应力状态的方法欲求某点的应力，可绕该点作一微小正六面体，称为单元体。假设：（1）、其边长无穷小；（2）、各个侧面上的应力均匀分布；（3）、相互平行面上同类应力大小相等，指向相反。工程力学Engineeringmechanics5§6-1应力状态理论的概念和实例图示为一般受力体中取出的任意点处的单元体，其上各个侧面上一般有正应力又有切应力作用。应力的下标表示：x，y，z——作用在垂直于轴的截面上的正应力；xy——第一个下标表示切应力作用面得位置：在垂直于轴的截面上；第二个下标表示切应力作用方向：轴的指向。依此类推。原始单元体：该单元体三个相互垂直的面上的应力均为已知。因各种受力杆件横截面上的应力计算公式已推导出，所以通常以左右横截面、上下和前后纵截面从杆件的相应点取原始单元体。工程力学Engineeringmechanics6§6-1应力状态理论的概念和实例主平面：单元体中切应力为零的截面。主单元体：在受力构件中任一点处，一定存在三对相互垂直的主平面，由主平面构成的单元体即为主单元体。主应力可正、可负、可零。一般用1，2，3表示并按代数值排列，即：123主应力：主平面上的正应力。主方向：主平面的外法线方向。工程力学Engineeringmechanics7§6-1应力状态理论的概念和实例1、单向应力状态定义：三个主应力中只有一个不为零。例如：从轴向拉伸杆件中取出任一点A，点A单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为：123,0,0四、应力状态分类工程力学Engineeringmechanics8§6-1应力状态理论的概念和实例2、二向应力状态（平面应力状态）定义：三个主应力中有两个不为零。例如：从扭转杆件中取出表面上任一点A，点A单元体的前、后面为主平面，其它两对主平面根据斜截面的公式确定，其主应力为：123,0,工程力学Engineeringmechanics9§6-1应力状态理论的概念和实例又如：图示薄壁圆筒在内压作用下，筒壁纵、横截面同时受拉，取出abcd单元体，则属于二向应力状态。单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为：123,,024pDpDtt工程力学Engineeringmechanics10§6-1应力状态理论的概念和实例3、三向应力状态（空间应力状态）例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体，它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。图5.3定义：三个主应力均不为零。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。工程力学Engineeringmechanics11§6-2二向应力状态分析二向应力状态是工程中常见的应力状态。已知：在二向应力状态下，通过一点的一对互相垂直截面上的应力（即原始单元体）。确定：（1）、过该点的其它截面上的应力；（2）、主应力、主平面、最大切应力。方法：（1）、解析法；（2）、图解法（应力圆法）。工程力学Engineeringmechanics121、正负号规定§6-2二向应力状态分析一、解析法正应力：以拉应力为正而压应力为负。切应力：使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。a角：由x轴正向逆时针转到n轴向者为正；反之为负。工程力学Engineeringmechanics132、微元局部的平衡方程研究对象：用a斜截面截取的微元局部。微元上的力：应力乘以其作用的面积。平衡方程：0nF0tF§6-2二向应力状态分析工程力学Engineeringmechanics140nFd(dcos)sin(dcos)cos(dsin)cos(dsin)sin0xyxyxyAAAAAaaaaaaaaa列平衡方程0tFd(dcos)cos(dcos)sin(dsin)sin(dsin)cos0xyxyxyAAAAAaaaaaaaaa§6-2二向应力状态分析利用三角函数公式)2cos1(21cos2aa)2cos1(21sin2aaaaa2sincossin2工程力学Engineeringmechanics15并注意到化简得xyyx22cossin2sincos11()()cos2sin222xyxyxyxyxyaaaaaaa22sincossincos(cossin)1()sin2cos22xyxyxyxyaaaaaaaaa§6-2二向应力状态分析即：当一点上的应力x、y和xy确定后，任一斜截面上的应力a和a也就确定，它们是a的函数。工程力学Engineeringmechanics1622cossin2sincos11()()cos2sin222xyxyxyxyxyaaaaaaa确定正应力极值将上式对a取导数d()sin22cos2dxyxyaaaa设a＝a0时，上式值为零，即00()sin22cos20xyxyaa3、主应力、主方向及最大切应力§6-2二向应力状态分析工程力学Engineeringmechanics1702tan2xyxya由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：22max1422xyxyxy22min1422xyxyxy§6-2二向应力状态分析工程力学Engineeringmechanics18221422xyxyxy221422xyxyxy0主应力表达式主应力排序：123§6-2二向应力状态分析工程力学Engineeringmechanics1922sincossincos(cossin)1()sin2cos22xyxyxyxyaaaaaaaaa同理，可以确定切应力的极值和所在的平面。111|()cos22sin20xyxyddaaaaaa1tan22xyxya22min142xyxy22max142xyxy§6-2二向应力状态分析02tan2xyxya注意：工程力学Engineeringmechanics20例：已知某点的应力状态如图所示。试求（1）、图示斜截面的应力；（2）主方向、主应力。§6-2二向应力状态分析（1）、斜面上的应力解：由图已知，40MPa,60MPa50MPa,30xyxyacos2sin22240604060cos(60)(50)sin(60)58.3MPa22xyxyxyaaa4060sin2cos2sin(60)(50)cos(60)2218.3MPaxyxyaaa工程力学Engineeringmechanics21§6-2二向应力状态分析（2）主应力、主方向2222max40604060()(50)222280.7MPaxyxyxy12380.7MPa,0,60.7MPa2222min40604060()(50)222260.7MPaxyxyxy则有：工程力学Engineeringmechanics22§6-2二向应力状态分析主平面的方位：022(50)214060xyxytga解之得：0067.5,9022.5aa代入a表达式可知：主应力方向：1主应力方向：309022.5a067.5a工程力学Engineeringmechanics2311()()cos2sin222xyxyxyaaa1()sin2cos22xyxyaaa消去上面两公式中的参数，可得a2222()()22xyxyxyaa§6-2二向应力状态分析二、图解法（应力圆法）根据斜截面上的应力公式：可见这是圆的方程。若以为横坐标，以为纵坐标可画出一个圆。1、应力圆工程力学Engineeringmechanics24§6-2二向应力状态分析该圆的圆心为：,02xy半径为：222xyxy圆周上任何一点的纵横坐标分别代表单元体上一个相应截面上的切应力和正应力，此圆称为应力圆或莫尔圆（由德国工程师莫尔提出）。工程力学Engineeringmechanics252、应力圆的画法§6-2二向应力状态分析（1）、作出-平面坐标；（2）、按一定比例绘出与x截面对应的点D（x，xy）及与y截面对应的点E（x，yx）。（3）、连接D、E交轴于点C，以C为圆心，CD或CE为半径作圆，即得相应的应力圆。工程力学Engineeringmechanics26若计算图中a截面上的正应力和切应力，可将与x截面对应的点D所在半径CD沿方位角a的转向旋转2a至CH处，则H点的坐标即代表了a截面的正应力a和切应力a。§6-2二向应力状态分析工程力学Engineeringmechanics27点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力。3、几种对应关系§6-2二向应力状态分析转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。工程力学Engineeringmechanics28§6-2二向应力状态分析4、主平面及主应力平面应力状态单元体对应的应力圆如图2，从图2中可见，应力圆与轴的交点A和B，对应着平面应力状态的主平面，其轴的值即为主应力。此外，在单元体的前后面上，切应力与正应力均为零，亦为主平面。工程力学Engineeringmechanics29§6-2二向应力状态分析由图中的几何关系，可得平面应力状态的三个主应力：2222xyxyxyOCCA2222xyxyxyOCCA0按代数值的大小排列出三个主应力：13max(,,)min(,,)工程力学Engineeringmechanics30§6-2二向应力状态分析从图中可见，A和B相差