2012年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

12012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题(本大题共12题,共计60分)1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．ABB．CBC．DCD．AD2．函数1yx(x≥－1)的反函数为()A．y＝x2－1(x≥0)B．y＝x2－1(x≥1)C．y＝x2＋1(x≥0)D．y＝x2＋1(x≥1)3．若函数()sin3xfx(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A．π2B．2π3C．3π2D．5π34．已知α为第二象限角，3sin5，则sin2α＝()A．2425B．1225C．1225D．24255．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为()A．2211612xyB．221128xyC．22184xyD．221124xy6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B．13()2nC．12()3nD．112n7．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，122CC，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()2A．2B．3C．2D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A．1133abB．2233abC．3355abD．4455ab10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．4511．已知x＝lnπ，y＝log52，12=ez，则()A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝13.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A．8B．6C．4D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330,xyxyxy则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sinx－3cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．317．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和23nnnSa.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，22AC，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．420．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．52012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1．B∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，∴CB．2．A∵1yx，∴y2＝x＋1，∴x＝y2－1，x，y互换可得：y＝x2－1.又∵10yx.∴反函数中x≥0，故选A项．3．C∵()sin3xfx是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sin13.∴ππ32k(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，3π2.故选C项．4．A∵3sin5，且α为第二象限角，∴24cos1sin5－－.∴3424sin22sincos25525.故选A项．5．C∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.又∵准线x＝－4，∴24ac.∴a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184xy，故选C项．6．B当n＝1时，S1＝2a2，又因S1＝a1＝1，6所以212a，213122S.显然只有B项符合．7．C由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A，剩余5人进行全排列：55A，故总的情况有：14A·55A＝480种．故选C项．8．D连结AC交BD于点O，连结OE，∵AB=2，∴22AC.又122CC，则AC=CC1.作CH⊥AC1于点H，交OE于点M.由OE为△ACC1的中位线知，CM⊥OE，M为CH的中点．由BD⊥AC，EC⊥BD知，BD⊥面EOC，∴CM⊥BD．∴CM⊥面BDE.∴HM为直线AC1到平面BDE的距离．又△ACC1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.9．D∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||5AB.∴1225||55CD.7∴222545||2()55AD.∴4544445()55555ADABABabab.10．C设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，∴2m－m＝22.∴=22m.又22224cab，∴由余弦定理可得cos∠F1PF2＝2221212||||432||||4PFPFcPFPF.11．D∵x＝lnπ＞1，y＝log52＞51log52，12111e2e4z，且12e－＜e0＝1，∴y＜z＜x.12．B如图，由题意：tan∠BEF=12，∴2112KX，∴X2为HD中点，82312XDXD，∴313XD，4312XCXC，∴413XC，5412XHXH，∴512XH，5612XAXA，∴613XA，∴X6与E重合，故选B项．13．答案：7解析：∵(x＋12x)8展开式的通项为Tr＋1＝8Crx8－r(12x)r＝Cr82－rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3.∴x2的系数为38C2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z＝3x－y得y＝3x－z，要使z取最小值，只需截距最大即可，故直线过A(0,1)时，z最大．∴zmax＝3×0－1＝－1.15．答案：5π6解析：y＝sinx－3cosx＝13π2(sincos)2sin()223xxx．当y取最大值时，ππ2π32xk，∴x＝2kπ＋5π6.9又∵0≤x＜2π，∴5π6x.16．答案：35解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在△AEA1中，2222212222322cos5222aaaaaAEAaaaa.17．解：由A，B，C成等差数列及A＋B＋C＝180°，得B＝60°，A＋C＝120°.由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2B＝3sinAsinC，故1sinsin2AC＝.cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－12，即cosAcosC－12＝12，cosAcosC＝0，cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°或A＝30°.18．解：(1)由2243Sa＝得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由3353Sa＝得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.10当n＞1时有an＝Sn－Sn－1＝12133nnnnaa，整理得111nnnaan.于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，…an－1＝2nnan－2，an＝11nnan－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得(1)2nnna.综上，{an}的通项公式(1)2nnna.19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD．设AC∩BD=F，连结EF.因为22AC，PA=2，PE=2EC，故23PC，233EC，2FC，从而6PCFC，6ACEC，因为PCACFCEC，∠FCE=∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED．11(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，2222PDPAAD.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.设PD与平面PBC所成的角为α，则1sin2dPD.所以PD与平面PBC所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(22，0,0)，D(2，b,0)，其中b＞0，则P(0,0,2)，E(423，0，23)，B(2，－b,0)．于是PC＝(22，0，－2)，BE＝(23，b，23)，DE＝(23，－b，23)，从而0PCBE，0PCDE，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.12(2)AP＝(0,0,2)，AB＝(2，－b,0)．设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·AP＝0，m·AB＝0，即2z＝0且2x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，2，0)．设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n·PC＝0，n·BE＝0，即2220pr且22033pbqr，令p＝1，则2r，2qb，n＝(1，2b，2)．因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即20bb，故2b，于是n＝(1，－1，2)，DP＝(2，2，2)，1cos,2||||DPDPDPnnn，〈n，DP〉＝60°.因为PD与平面PBC所成角和〈n，DP〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.20．解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i＝0,1,2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B＝A0·A＋A1·A，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42