柯西积分公式3-5

§3柯西积分公式内解析，在单连通区域如果B)(zfcdzzzzf0)(?CCdzzzzfdzzzzf00)()(B0zC的对于包含00zBz,C任意一条封闭曲线c,00zC)()(0zfzf)()()()(000002zifzzdzzfdzzzzfdzzzzfCCC3.1定理（柯西积分公式）曲线，内任意一条正向简单闭为内解析，在区域如果DDCzf)(任意一点，则为内它的内部全部含于Cz0,DCdzzzzfizf0021)()(Kc0zKdzzzzfdzzzzf00)()(CKdzzzzfzfzf000)()()(KKdzzzzfzfdzzzzf0000)()()(Kdzzzzfzfzif0002)()()()(00zK证明dszzzfzfdzzzzfzfKK0000)()()()(2KdsR)(02zif3.1推论（平均值公式）上连续，内解析，在在区域如果RR00zzzzzf)(dzfzfi20)Re()(00213.2推论内的为由完全位于内解析，在区域设DGzfD)(则有所围成的圆环域同心圆周,,,,GzDGKK021dzzzzfizf0021)()(.,的正向复合闭路是包围GKK12G0z1k2kD例3.1求下列积分;sin)(dzzzz21;))(()(dzizzzz22920102zzzidzzzsinsin)(2解;))(()())(()(dzizzzdzizzzzz22229925922izzzi)(ixycdzzzzfizf0021)()(§4解析函数的高阶导数内解析，在单连通区域如果B)(zf的对于包含00zBz,C任意一条封闭曲线)(zfCdzzzzfizf0021)()(Cdzfizf)()(21BzCd?)(zf))((Cdzfi21Cdzfi))((21Cdzfi221)()()(zfCdzfi])()([221Cdzfi322)()(!猜想Cdzfinzfnn12)()(!)()(定理4.1析，而且它的导函数为解析函数的导数依然解.的正向封闭曲线含是任意一条封闭曲线包其中zCCdzfinzfnn12)()(!)()(定理4.1的证明思路：先证一阶导数成立，然后利用归纳法,)()(Cdzzzzfizf0021Cdzzzzzfizzf0021)()(CCdzzzzfidzzzzzfizfzzf00002121)()()()(CCdzzzzfidzzzzzfizfzzf00002121)()()()(Cdzzzzfzzzzfizfzzf])()([)()(000021Cdzzzzzzzzfizfzzf))(()()()(000021Cdzzzzzzzfizzfzzf))(()()()(000021Cdzzzzzzzfzzzzizzfzzf20000021))(()(])[()()(CCdzzzzzzzzfidzzzzfi200202121))(()()()(0)())(()(00200zdzzzzzzzzfIC00200zdzzzzzzzzf())(()(C)())(()(00200zdszzzzzzzfCBzCddzzd500..取的最短距离到曲线是Cdzzdzzz11000zC,.的距离到上任意一点对于曲线dzzzdzzzzzz212000,Cdszzzzzzfz200)()()(3322dMLzLdMzC200)()(21)(dzzzzfizf..都是成立的对于任意的正整数时，结论成立即nn1例4.1.1rzC为正向圆周：求下列积分的值，其中z,.5dzzC)(cos)(11z,.2dzeCz)()(122.cos)(在复平面上解析解zzf(1)iifidzzC12212115544!4!z5cos)()(cos)()(,,)()(izizzez21212.,C2内有两个奇点在.)()(内处处解析在11cizezfz2Cyxoii1c2c.,ii包含包含含的两个圆周内有作互不相交互不包在21.CCCzzz222dzedzedzeCzCzCz211112222)()()()(z2dizizeCz1)))(((zz2222dizizedizizeCzCz21)()()()(z2dizizeCz2)))(((.)()(内处处解析在22cizezfz222))((])([])([iiizzizzieeiizeiizei1222例4.2z,.2dzzzC12计算的正向简单闭曲线是包含原点和其中1C,)(11221zzzzzzf0,2在复平面上有两个奇点解互不包含、互不相交的正向闭曲线和内作包含在2121,Ccczzo1xyC1c2cCzzzzd212211212CCdzzzzdzzzz2211)1(CCzdzzdz221cczdzzdz)(0220iii4zzzzzzzz11111212)(2211212CCdzzzzdzzzz22Czzzzd21221112112CCdzzzzdzzzz)()(21112112CCdzzzzdzzzz)()(o1xyC1c2cizzizzizz4122112210)(§5解析函数与调和函数的关系5.1定义方程且满足拉普拉斯（内有二阶连续偏导数，在区域如果二元实函数)),(LaplaceyxD02222yx.),(内的调和函数为区域则称Dyx内解析，在区域如果D),(),()(yxivyxuzf5.1定理.),(),,(内的调和函数均为区域函数Dyxvyxu证明内解析，在区域D),(),()(yxivyxuzf.,xvyuyvxu222222yvyxuyvyxuyxyvxuyvxxux][][,][][yxvyuxvyyuyxvyxuxvxyux222222][][][][yxv2,xyv202222yuxu02222yvxv5.2定义.),(),(),(),(),(的共轭调和函数称作内构成解析函数的在内的调和函数，使为区域设实函数yxuyxvyxivyxuyxuDD.),(内调和函数为区域所以Dyxu5.1例,),(内的调和函数为区域验证Dyxyyxu233解22336xyyuxyxu,知，由xvyuyvxu,.),(),(的共轭调和函数是yxvyxu.),(数和有它们构成的解析函并求其共轭调和函数yxv066,6,622222222yyyuxuyyuyxuxyxuyvyxv6则有设其共轭调和函数为).,()(),(xgxydyyvyxv23)()(xgyxyyuxv222333又由cxxgxxg323)(,)(cxxyyxv323),()(),(),()(cxxyiyxyyxivyxuzf322333)(czi3.分法个函数的方法叫做偏积方程通过积分求出另一这种由R-C5.2例,)sincos(),(yxyxyyeyxvx已知调和函数.)(),,(),()(00fyxivyxuzf使并一个解析函数xuyv解,)cossin(cos1yxyyyexyuxv1)sincossin(yyyyxexdxyxyyyeyxux])cossin(cos[),(1dxxeyxyyyeyxuxxcos)sin(cos),()()sincos(),(ygxyyyxeyxux)()cossinsin(ygyyyyxeyux])sincossin([1yyyyxevxx1)(ygcyyg)()]()cossinsin([ygyyyyxexcyxyyyxeyxux)sincos(),(cyxyyyxeyxivyxuzfx)sincos(),(),()(1))sincos((yxyxyyeix00000000),(,),()(vuf由0cyxyyyxezfx)sincos()(1))sincos((yxyxyyeixixyiyxyyixyiyxex]sin)(cos)[()(]sin)(cos)[(iyxiiyxyiyxiyiyxex])sin(cos)[(iyiyeiyxx1zizeieiyxziyx)(])[(11原函数法）的另外一种方法求解析函数）（或下面介绍已知调和函数()(,),(),(zfyxvyxu5.3例,),(内的调和函数为区域已知Dyxyyxu233解22336xyyuxyxu,，)()(zvyuixuyuiyvxvixuzf),(),()(yxivyxuzf求解析函数cdzzfzf)()()()(22336xyixyyuixuzf2233iziyxizf)()(cizdzzizf323)(得前面由偏积分法已经求cxxyyxv323),()(),(),()(cziyxivyxuzf3)(ixyyxi23225.2又如例,)sincos(),(yxyxyyeyxvx已知调和函数.0)0(),,(),()(fyxivyxuzf使并求一个解析函数xyuv解,)cossin(cos1yxyyyexyxuv1)sincossin(yyyyxexyxyyyxeyxux)sincos(),(vyyxivviuuzf)(1)cossin(cosyxyyyex))sincossin((1yyyyxeix)()]sin(coscos)(sin)[(iyiyyiyxyyixex1)()]sin(coscos)(sin)([iyiyyiyxyiyxiex1)()]sin(cos)sin)(cos[(iyiyyiyiyxex1)())]()(sin[(cosiiyxyiyex11izezfz11)()(czizezfz)()(1000cf,)(本章重要公式总结Czzfd)(,),(),(),(),(yyxuxyxviyyxvxyxuCCdddddttztzf)())((Cnzzdz10)(0002