柯西积分公式及高阶导数公式

第三章复变函数的积分第3节柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式00().fzzzz在不解析设B为单连通域,f(z)在B内解析,z0∈B,在C内部作CR:|zz0|=R(取其正向)绕z0的任一正向简单闭曲线,则设C为B内BC0z00()dRCfzzzz0()dCfzzzz0()dRCfzzzz0R02π().ifz一、柯西积分公式00001()()()d.d2π()2πCCfzfzfzzzifzizzzz或定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内部的任一点,则DC0z证明:由于f(z)在z0连续,DCCRzz0R且Rd.故任给e0,存在d0,当|zz0|d时,|f(z)f(z0)|e.在C内部作CR:|zz0|=R(取其正向),0000()()()ddRRCCfzfzfzzzzzzz00()()ddRCCfzfzzzzzzz02π()ifz00()()dRCfzfzzzz=000()()dRCfzfzzzzdRCsRe00|()()|d||RCfzfzszz2πe00()()d0RCfzfzzzz00()d2π()Cfzzifzzz——柯西积分公式001()()d2πCfzfzzizz特别,如C:|zz0|R,z=z0+Reiq,则上式成为2π0001()(e)d.2πifzfzRqq说明:1)这里的D可为单连通域，也可为多连通域；只要f(z)在简单闭曲线C及其所围的区域内解析,且z0在C的内部,则柯西积分公式也成立。2)柯西积分公式的含义001()()d2πCfzfzzizz3)柯西积分公式的应用:可求积分0()d,Cfzzzza)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.要注意:函数在C内部任一点的值可用它在边界上的值通过积分唯一确定。例1：求下列积分(沿圆周正方向)的值:4211223||||sin)d;)d;πzzzzzzizz2213||)d,(0).zaazaza例2：求221d,()zCzzezz其中C为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线.001()()d.2Cfzfzzizz如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下进行,则0201()()d,2()Cfzfzzizz由,解析函数的积分表达式为Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则03021()()d,2()Cfzfzzizz()010!()()d.2()nnCnfzfzzizz(1)解析函数是否存在各阶导数?(2)导数运算可否在积分号下进行?高阶导数公式.二、高阶导数公式()010!()()d2π()nnCnfzfzzizz高阶导数公式D0zC定理(高阶导数公式)设函数f(z)在区域D内解析,z0在D内，C是D内绕z0的任一正向简单闭曲线,且C的内部全含于D,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且(1,2,3,),n说明:1)解析函数具有任意阶导数；可用函数f(z)在边界上的值通过积分唯一2)()0()nfz确定。说明:3)高阶导数公式的应用:可求积分10()d()nCfzzzza)f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,b)z0在C的内部.要注意:高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.243d)1(1zzzz13]1[!32zzi2.i例1.求积分3421d.(1)zzzz解因为函数在复平面解析,3()1fzz()010!()()d,2()nnCnfzfzzizz01z在内,n=3,根据2z()010!()()d1,2,3,,2()nnCnfzfzznizz高阶导数公式.定理2.6设函数f(z)在单连通区域D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线,z0在C的内部区域,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且其中C取正向.例3.求积分22d,1zCezz1C2CxyoiCiCzzzed)1(22122222dd.(1)(1)zzCCeezzzz解.函数在C内的处不解析.22(1)zezzi在C内分别以i和-i为中心作正向圆周C1和C2,由复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCC其中C是正向圆周1zr1d)1(22Czzze1d)()(22Czzizizeizzizei2)()!12(2(1).2iieCzzzed)1(222)1(iei2)1(iei于是))(1(2iiieei).1cos1(sini222d(1)zCezz同理(1).2iie222()d()zCezizzi1C2CxyoiCi柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理设B为单连通域，则0(),Cfzdzf(z)在B内解析C为B内任何一条闭曲线。Morera定理设B为单连通域，如f(z)在B内连续，且对B内任何一条简单闭曲线C,有0(),Cfzdz则f(z)在B内解析。典型例题)1(12zz))((1izizzizizz)(1)(zf,0iz212d)1(1izzzz12()dzifzzziizizzi)(12.i例4.计算积分2121d.1zizzz解由,Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则2()2π371zfzi22371.izz例5.设C表示正向圆周223,xy2371()d,Cfzz求(1).fi于是而1+i在C内,所以()2(67),fziz(1)2(613).fii解根据,当z在C内时,Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则2112sin4d1zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi2.2i例6.计算积分其中2sin4d,1Czzz1(1):1;2Cz1(2):1;2Cz(3):2.Cz解(1)根据,Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则2112sin4d1zzzz211d114sinzzzzz114sin2zzzi2.2i(2)根据,Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则22d14sinzzzz2112d14sinzzzz2112d14πsinzzzzii2222.2i(3)根据以及前面的结果,复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCC解1d0.znzezz1dznzzze0)(2zzei2.i例7.求积分1d,znzezz其中n为整数.(1)n0时,函数在上解析.znez1z(2)n=1时,由得Cauchy积分公式Czzzzfizf.d)(π21)(00定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则由得定理2.3(Cauchy积分定理)设f(z)是单连DC说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.通区域D上的解析函数，则对D内的任何可求长Jordan曲线C,都有()d0.Cfzz()010!()()d,2()nnCnfzfzzizz1dznzzze0)1()()!1(2znzeni.)!1(2ni可得(3)n1时,根据()010!()()d1,2,3,,2()nnCnfzfzznizz高阶导数公式.定理2.6设函数f(z)在单连通区域D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线,z0在C的内部区域,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且其中C取正向.例8.计算积分其中C是正向圆周Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2zzi5.12i1zr5cosd,1Czzz解因为函数在C内z=1处不解析,5cos1zz但在C内处处解析,所以根据cosz()010!()()d1,2,3,,2()nnCnfzfzznizz高阶导数公式.定理2.6设函数f(z)在单连通区域D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线,z0在C的内部区域,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且其中C取正向.作业P59：5(3,4);6(3,5,7,9)；7(1,3,5)；8；11;14.P60-61：9；15.