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波利亚及其解题理论主讲人:李忠如西南大学数学与统计学院波利亚(1887.12.13-1985.9.7)波利亚(1887-1985)的生平•美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利的布达佩斯。早在中学时代，就显示出卓越的数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。1912年在布达佩斯获约特沃斯·洛伦得大学哲学博士学位。1914年，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。波利亚(1887-1985)的生平•波利亚在众多的数学分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。为了表彰波利亚对数学的杰出贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(DistinguishedServicesAward),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(TopHonorofMathematicsandPhysics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。波利亚(1887-1985)的生平•波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学的发现》多卷、《数学与猜想》多卷、《数学分析中的问题和定理》(与塞格合著)、《数学物理中的等周不等式》(与塞格合著)等。怎样解题表弄清题意拟定计划执行计划检验回顾变换,推广,类比,作出新的数学发现.概括方法论因素,建立数学模型.弄清题意1)已知是什么?2)未知是什么?3)题目要求你干什么?4)可否画一个图形?5)可否数学化?拟定计划(核心)6)你能否一眼看出结果?7)是否见过形式上稍有不同的题目?8)你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理公式?9)有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗?10)已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或不等式?11)你能否引入辅助元素?12)如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?执行计划13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.15)解题要求是:严密具有逻辑性.检验回顾16)你能拟定其它解题方案吗?17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗?18)你能找到什么方法检验你的结果吗?数学究竟是由什么组成的？•“问题是数学的心脏.”——P．R．Halmos•“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题.”——Minkowski•某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界.——希尔伯特(1900)解题是数学的特点•“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．”——杨辉•“从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，他们需要进行数学式的思维．”——美国数学科学委员会(1989)•学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和较高水平的人切磋(做有一定难度的题)，棋力(数学水平)才有长进．此外，还需揣摩成局(学习定理的证明或著名问题的解法)，领会其精髓(深刻的数学思想)——单墫解题是数学的特点•做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后．知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引人．解题是数学的特点例1：一大学教授向中学生介绍图论•定义图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两个点的边的集E组成．•定义如果E由连结V中每两个点的边组成，那么G＝(V，E)称为完全图．•定义如果图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)具有相同的顶点集V，并且E1∩E2＝，(V，E1∪E2)是完全图，那么称G1为G2的补图．•定理在|V|≥6时，G=(V，E)或它的补图中必有三角形．解题是数学的特点符合中学生特点的教法：•“任意六个人中必有三个人互相认识或三个人互不相识．为什么？”•为了解决这个问题，为了叙述的方便，我们用六个点表示六个人．如果两个人互相认识，就将相应的两点用线连结起来．这种由点及一些连结点的线组成的图形，就称为图．问题就成为：•“六个点的图中，一定有三个点两两相连(即构成三角形)，或者有三个点互不相连.”中小学开设数学课程的目的？•数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想像力的问题．所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”——《数学的发现》第一卷序•开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考。•“教会思考”意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力……——《数学的发现》第二卷中小学开设数学课程的目的？•波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1%，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应当符合于两个原则：•第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么．•第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学．解题必须实践•解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题．——波利亚•学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而出神入化．而要这样，就必须练。——华罗庚问题的种类•按数学内容来分，可以分成几何、代数、数论(算术)、组合数学等．•按问题的结论来分，可以分为计算题、求解题、证明题．•从形式上分，有选择题、填充题、综合题．•从与已有经验关系分，有固定模式、没有或较少固定模式．解题的步骤•弄清题意．•拟定计划．•实施计划．•检验与回顾．弄清问题•问题应当用自己的语言重新叙述．通过复述，可以发现学生是否理解了题意，有没有忽略重要的部分．凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他．因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向未知，而将题目中的“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步．弄清问题•例2某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生(1≤Ci≤39，1≤i≤n)到体育馆观看球赛，总人数=1990．看台上每一横排有199个座位．同一学校的学生必须坐在同一横排，问至少要安排多少个横排才能保证学生全部坐下？1niiC弄清问题例2重述为：•一些学校派出学生看球赛，看台上每一排有199个座位，同一学校的学生必须坐在同一排．每个学校派出的学生不超过39人，学生总数为1990人，问至少要安排多少排才能保证学生全部坐下？弄清问题•例1还可以用填充与提问的方式来加深理解：学生总数是1990人．每个学校派出人数≤39．每排可坐199人．还有什么要求？(答：同一学校的学生必须坐在同一排)本题还有一个至关重要的词“至少”，必须弄清楚．“至少要安排多少排才能保证学生全部坐下”，这句话是什么意思？答：(略)这两层含义，需要我们怎样去做？怎样才是完整的解答？答：(略)．弄清问题•例3摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭．由于道路堵塞，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一．过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说再走从C市到这里的二分之一，就到达目的地了．问A、B两市相距多少千米？弄清问题•图中D是小镇，E是傍晚休息处．D、E之间的距离是400千米．EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米．求AB的长．ADCEB弄清问题•实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题意，可以说是向问题的解决进了一大步．•波利亚主张“不断地变换你的问题”，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”．弄清问题•例4已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真做的事，切莫忽视．拟定计划•问题明确后，便是通常所说的真正的解题阶段．•熟悉的问题，有一定套路的问题，不需太多思考．•稍进一步的问题，需要一点变化，波利亚的表中“你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？”可用，以唤醒你的记忆，从大脑的信息库中找到一个可以利用的模式．•真正的问题是不能照套的，需要解题者发挥某种程度的主动性与创造性．主动性与创造性程度越大，问题的难度越大，质量越高．对这类问题来说，波利亚所说的“你以前见过它吗？”等等，就不用再考虑了，没有多大用处．这类问题往往是竞赛性的.拟定计划•例4已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①拟定计划•抛物线y=x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca开口向上．如果二次多项式x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca②的判别式△=(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)③满足△＜0④那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0．⑤于是①成立．•故，原问题化为证明④成立．•这一计划也很清楚，但是无法证明④一定成立．实现计划•在解题中，这一步是最容易的，如果计划是完善的，实现计划往往是“例行公事”，作一些机械性的计算，但计划往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出现一些反复．此外，计算或操作中也许有困难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来计划必须推倒重来．检验与回顾•解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾，则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样走，等等．朦胧变成了自觉．•正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’12条解题要诀——单撙1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣，能有几分痴迷更好．2．要有充足的信心．3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力．4．要做100道有质量的题目．5．反复探索，大胆地跟着感觉走．6．从简单的做起．7．从不同的角度看问题．8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”．9．设法创造条件，不断变更问题．10．引入适当字母，向基本量靠拢．11．力求简单自然，直剖核心．12．注意总结．参考资料•波利亚著《怎样解题》(阎育苏译).北京:科学出版社,1982年.•波利亚著《数学的发现》第一卷,欧阳绛译,北京:科学出版社,1982年.第二卷,刘远图等译,北京:科学出版社,1987年.•波利亚著《数学与猜想》(第一卷,李心灿等译,第二卷,李克尧等译)北京:科学出版社1984年.思考与练习•设计一个解决某类问题的解题表．•根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍解题的具体过程．•实践解题表，求解下题：如果3个有相同半径的圆过一点，则通过它们的另外3个交点的圆具有相同的半径．•对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论文．