波动方程的积分解

第三章波动方程的积分解求解波动方程时，一般要划定以封闭曲面为边界而限定的求解区域，并给出震源函数或指定边界条件。依震源相对边界的位置，可有两类问题：一是震源位于边界内部，要求求解外部区域的位移场，称为外部问题；一是震源位于边界外部，要求求解内部区域的位移场，称为内部问题。此类问题使用积分解法。我们建立了波动方程，讨论了它在无限均匀介质中的一般解在本章中将介绍根据指定的边界条件或震源分布建立波动方程积分形式解的方法。在波的传播空间已知某一封闭曲面S上的位移位和它的导数，要求计算在空间其余部分的位移场。S曲面可能包围着一个震源分布区域，我们感兴趣的是S曲面外部空间的位移场；解决的应是外部问题；或可能正相反，震源分布于S曲面以外的区域，我们希望确定S曲面内部空间的位移场，解决的则是内部问题。针对这些问题可以建立不同形式的积分解。§3－1克希霍夫积分与泊松积分一、齐次波动方程的克希霍夫积分解设在一个区域的封闭曲面S上．已知位移位，它的方向导数，要求确定区域中任意一点P的位移位。波的震源可能于曲面S以外，其作用等价于在S曲面上给出的边界条件和，显然，待求的位函数满足齐次波动方程：222210ct(3-1)nt（P，）n对于上式使用付氏变换得：其中为谱函数。将上式带入齐次波动方程得：去掉积分号后可以得到亥姆霍兹方程：1(,)(,)2jwtptped22211(,)(,)022jwtjwtpedPedC22(,)(,)0pKp,p(3-2)(3-3)(3-4)此外，闭合曲面S上每一点可以看成是一个二次震源，在介质中引起球面波的传播。用表示该球面简谐波的复变振幅，即对于在所研究区域内的两个标量函数。若它们的函数及其导数在该区域和S曲面上连续，可以使用格林第二公式：（为调和函数）22()()sddSnn与(3-6)与由于函数在r=0处是不满足所要求的连续条件的。因此用小球面S1把它于区域分开。区域被S1与S曲面所包围。则（3－6）式变为：根据亥姆霍兹方程有：和将它们代入（3－7），可见22()0d122()()()ssddSdSnnnn(3-7)22K22K对式(3-7)右端第二项做一些变换，考虑到对S1曲面其外法线n与向径R方向相反，；对S1曲面，面积元dS用立体角表示为。如图3-1所示，可以得到当被积函数中只留下一项，。并且圆球面S1的全立体角为。1122()[()]jKRjKRjKRsSeeedSjKRdnnRRRnnRd2dR0,1,jKRRe(,)jKReP4式（3－7）改为：解出表达式是：计算上式中导数：()4(,)0sdSPnn1(,)()4sPdSnn2exp()1[]exp()exp()jrjrrCjrjrnnrcrCnrCn(,)P（3－8）（3－9）可以得出：并对上式使用傅立叶积分得到：21(,)4exp()1[[]exp()exp()]SPjrjrrCjrjrdSnrcrCnrCn(3-10)最后可得克希霍夫积分解：21(,)(,)2111exp4211exp211exp2jtSPtPedrjtdrncrrjjtdCrncrrjtdrnc21111(,)4SrrPtdSrnCrntrn其中[]表示函数推迟位，如(3-11)(,)rPtc克希霍夫积分式中r表示曲面S上的任意点与观测点P之间的距离,n为S曲面的外法线。已知S曲面上的位函数和，它的方向导数。可以确定无震源的内部空间上任意一点上的位函数值。或者可以说，由分布在S外部空间的震源在内部空间产生的波场，可以根据在S曲面上给定的函数及其法向偏导数值来确定，而无须已知震源函数。在S上给定的边界条件代替了震源的作用。应当指出的是，根据克希霍夫积分，在t瞬时，内部空间任一观测点P上的波函数由S曲面上的波函数及n其法向偏导数在时的值来确定，所需延迟时间为振动由S曲面上的任意点到观测点P的传播时间。物理学中有关于波传播的惠更斯原理，根据这个原理，在波的传播空间某一瞬时波前面上每一点都可以看成是二次元波震源，产生在空间传播的球面波，这些球面波波前包络线将是下个时刻的波前面。克希霍夫积分是惠更斯原理的数学表达式。rtcrc非齐次波动方程的克希霍夫积分解当S曲面内部空间内有震源分布时。根据给定的震源函数和S曲面的边界条件，求解内部空间任意点P上的波函数问题。这时要求建立非齐次波动方程的克希霍夫积分解。若为在区域内分布的体力向量的标量位，则内部空间位函数为：(,,,)xyzt(,)Pt2211(,)411114SPtdCrrrdSrnCrntrn(3-12)二、泊松积分假定观测点P为球面S的圆心，R为半径。在克希霍夫公式使r＝R，外法向与R向重合，使用立体角代替面积元，则有：改变积分与求导顺序得：221111(,)4SPtRdRRRCRt(3-13)11(,)44SSRPtRddRCt(3-14)通过引入符号：可以把（3－14）式变为泊松公式：其中t’为波从球面上任意点到球心观测点传播所必须的时间。1[][]4sd1[][]4sdtt/RtC/'(,){[]}|[]ttpttttt（3－15）震源的波场与泊松积分如图3－2所示，弹性介质中有一扰动区，P为区域外的观测点。波到观测点的传播时间t’为：其中d为扰动区到观测点的最小距离，D为最大距离，C为传播速度。当R＝d时,P处质点刚开始振动;当时函数，圆球上的函数平均值不为零.当时,介质重新静止./dDtCC/dDtCCDtC小结：这一章主要是讲如何基于S曲面上的波场值（边界条件）求得空间任何位置处的波场值。所用的数学基础是格林公式，为了使用格林公式，必须有两个连续函数：一个是待求的波场；一个是已知的球面简谐波，球面简谐波的表达式省略了时间项。克希霍夫积分形式解要求在闭合曲面上同时已知波函数及其法向导数。泊松积分是规则的球面上进行，只要求闭合曲面上已知波函数及其法向导数的面平均值。三、菲涅耳原理按惠更斯原理和克希霍夫积分公式，波的传播空间处于振动状态的每一点，都可以看成是二次子波点震源。惠更斯原理给出了波传播过程的运动学解释。克希霍夫积分公式考虑了二次子波相互作用时的振幅、相位关系。菲涅耳(Fresnel)给出了导自克希霍夫积分公式的确定波场的简单方法，对惠更斯原理做出了简明的解释。如图3－4所示半球面S1与平面S2形成闭合曲面S，震源O位于S内部空间。要求根据S上给定的边界条件确定观测点P上的波场值，要求曲面S的法向指向震源所在空间，震源的作用等价于S上的边界条件和。则P点上的波函数为：n现将半球面S1趋于无穷大。若震源和观测点位于有限的距离内，则位于无穷大半球面上的面积元，对P点波场形成的贡献为零。上式第一项为零,因此可以改为：12121,41144sSSsspdSnndSdSnnnn(3-17)221,4SspdSnn(3-18)1S2S2S,p根据点震源性质，简谐震源波场可以表示为：其中r为震源到S2平面上任意一点的距离。而函数，选择：它表示的是由P点和它相对S2平面对称点P’所产生的两个球面在空间一点处波场之差，如图3－5。当该点在平面S2上时，R’=R”，所以波函数＝0。因此式（3－18）中的第2项为零。exp()jkrr//////exp()exp()jkRjkRRR(3-19)有：因为相对于P和它的对称点，平面S2的法线方向相反，有：221(,)4sspdSn(3-20)exp()2exp()21jKRnnRjKRKRRjKRn(3-21)如果震源和观测点到S2平面上任意点的距离r和R满足条件:，或,或,其中为波长。则式(3-21)变为：代入式（3－20）得：其中:;上式表示，观测点P上的波场值由分布于S2平面上的二次子波震源作用之和确定，称为惠更斯－菲涅耳定理。/2R1,/2KRr1Krexp()2jKRRKjnRn(3-22)2exp(,)cos,dSjKrRjpsrRRn(3-23)2cos,,RKnRn四、菲涅耳带为了算P点波场，我们在平面S2上以PO与S2平面交点为圆心作一系列同心圆，其中P为观测点，O为震源。如图3－6。把S2平面划分为一系列的环形带。同心圆半径的选择，应使由环形带的内边界、外边界到震源及观测点距离之和的差为半个波长,也就是满足下面条件：1100220000()()2()()22.................................()()2nnRrRrRrRrRrRrnl(2-24)R与r交点在垂直平面上是以P和O点为焦点的椭圆，在空间则是一个旋转椭球体。椭球体与S2平面的交线就是划分环形带的同心圆。用这种方法划分的环形带称为菲涅耳带。积分式可写成一系列同类型积分之和，其中第一个积分是对第一菲涅耳带Z1的积分，第二个积分是对第二菲涅耳带Z2的积分，因此上式变为：exp(,)cos,dSjKrRjpsrRRn1exp(,)cos,dexpcos,dnZZjKrRjpSrRjKrRjSrRRnRn(3-25)菲涅耳带对P点波场的贡献首先，计算(3-25)式中各菲涅耳带面积Z。各菲涅耳带外边界半径为。根据下图可以看出：因为：可以得到：2221101002221101001212lrrlrrlRRlRR00100rRlrRl(3-26),lRlr(3-27)同理可得：由此不难得到结论．各个菲涅耳带面积相等,且等于：式(3-25)各个积分项中的被积函数包含着rR和cos(R，n)；这些量在一个菲涅耳带中变化不大，可取其平均值，移出积分号外。这时，每个积分项用I表示，由如下表达式确定：此处m＝1，2，3…为菲涅耳带序号。0000nnrRlrR0000rRZrRcos(,)exp[()]mmZjRnIjkrRdSrR(3-29)(3-30)系数cos(R,n)／rR为振幅因子，在一个菲涅耳带内保持不变。但随菲涅耳带序号m的增加而减少，因为随m增加，rR增大，而cos(R,n)减少。位于每个环上的二次子波震