高中数学(人教A版)解三角形-面积问题

只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！◆数学•必修5•◆解三角形1.2.3面积问题只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的推导和简单应用．只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆基础梳理1．三角形面积：△ABC中用a和BC边上的高h表示三角形面积的公式为______________．练习1：△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC面积为________．2．△ABC中用a、b和角C表示三角形面积的公式为______________．答案：1．S＝ah练习1：解析：由已知易得出BC边上的高为4，所以S＝×6×4＝12.答案：122．S＝absinC121212只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆练习2：△ABC中，已知A＝30°，b＝4，c＝3，则△ABC面积为________．3．△ABC中，A与B＋C互补，A2与B＋C2互余，所以sin(B＋C)＝__________，cos(B＋C)＝__________，sinB＋C2＝__________，cosB＋C2＝__________.练习2：解析：由三角形面积公式知S＝12bcsinA＝3.答案：33．sinA－cosAcosA2sinA2练习2：解析：由三角形面积公式知S＝12bcsinA＝3.答案：33．sinA－cosAcosA2sinA2只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆4．设Rt△ABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆半径r＝______.5．设△ABC的周长为2p，内切圆半径为r，则△ABC的面积＝________.6．S＝absinC＝________＝________.12答案：4.12(a＋b－a2＋b2)5．pr6.12acsinB12bcsinA只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆自测自评1．在△ABC中，AB＝，AC＝1，A＝60°，则S△ABC＝________.2．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．333234163只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆三角形面积公式及正弦定理应用在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(1)已知a＝4cm，c＝5cm，B＝30°；(2)已知A＝75°，C＝45°，b＝4cm.解析：(1)依题意，三角形的面积S＝12acsinB，得：S＝12×4×5×sin30°＝5(cm2)．(2)根据正弦定理bsinB＝csinC，c＝bsinCsinB，S＝12bcsinA＝12b2sinCsinAsinB，B＝180°－(A＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°，S＝12×42×sin45°sin75°sin60°＝43＋33(cm2)．只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆跟踪训练1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B＝120°，b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．13解析：由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accosB，所以(a＋c)2－ac＝13，ac＝3，所以三角形ABC的面积为S＝acsin120°＝.12334只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆余弦定理与三角形面积公式的综合应用已知三边的长分别为a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，求三角形的面积S.解析：根据余弦定理得：cosB＝c2＋a2－b22ca＝42＋22－322×4×2＝1116，sinB＝1－cos2B＝31516，S＝12acsinB，得：S＝12×2×4×31516＝3154(cm2)．只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆跟踪训练2．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．解析：因为ABCD是圆内接四边形，所以A＋C＝180°，所以cosA＋cosC＝0，由余弦定理得：BD＝27，cosA＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3，C＝π3，S△ABD＝23，S△BCD＝63.∴四边形ABCD面积为83.只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆三角变换与三角形面积公式的综合应用在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．22解析：法一：∵sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝22，∴cos(A－45°)＝12.又0°＜A＜180°.∴A－45°＝60°，A＝105°.∴tanA＝tan(45°＋60°)＝1＋31－3＝－2－3.又sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝2＋64.∴S△ABC＝12AC·ABsinA＝12×2×3×2＋64＝34(2＋6)．只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆法二：∵sinA＋cosA＝22，①∴(sinA＋cosA)2＝12.∴2sinAcosA＝－12.∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝32，∴sinA－cosA＝62.②①＋②得：sinA＝2＋64，①－②得：cosA＝2－64.∴tanA＝sinAcosA＝－2－3.(以下同法一)只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆跟踪训练3．若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值是________．2解析：设BC＝x，则AC＝2x.根据三角形面积公式得：S△ABC＝12AB·BCsinB＝x1－cos2B，根据余弦定理得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x，代入上式得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216.只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆由三角形三边关系有2x＋x＞2x＋2＞2x，解得22－2＜x＜22＋2.故当x＝23时取得S△ABC最大值22.答案：22只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆一、选择填空题1．在△ABC中，a＝，b＝，C＝45°，则三角形的面积为()A.B.C.D.32323662解析：S△ABC＝12absinC＝123×2×22＝32.答案：A只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆2．在△ABC中，a＝5，c＝7，C＝120°，则三角形的面积为()A.152B.154C.1534D.1532解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，即72＝52＋b2＋5b，∴b＝3或b＝－8(舍去)，∴S△ABC＝absinC＝.答案：C121534只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆1.求三角形的面积的问题，先观察已知什么？尚缺什么？用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．2．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．3．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．4．若试题有单位，回答时要注意书写．只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！返回◆数学•必修5•◆祝您