量子信息技术-第一章

波函数的绝对值的平方等于粒子在点r附近出现的概率p：()r2()()()()prrrr代表在点r附近的小体积元中找到粒子的概率，因此也称为概率波幅。2()rxyzxyz()r著名物理学家费曼曾指出：量子力学的精妙之处在于引入概率波幅(即量子态)的概念。一薛定谔猫与EPR佯谬关于量子力学理论是否完备的EPR佯谬长期激烈争论的焦点也在这个量子态上。薛定谔于1932年提出的所谓“薛定谔猫”佯谬和爱因斯坦等人在1935年提出的EPR佯谬。1.薛定谔猫薛定谔猫的实验装置巧妙地将微观放射源和宏观的猫联系起来！容器里的猫是死还是活？既然放射性粒子是处于0和1的叠加态，那么这只猫理应处于死和活的叠加态。这只在特定状态下的半死半活的猫就是著名的“薛定谔猫”。薛定谔想要阐述的物理问题是：微观世界遵从量子叠加原理；那么，如果自然界确实按照量子力学运行的话，宏观世界也应遵从量子叠加原理。薛定谔的实验装置巧妙地把微观放射源与宏观的猫联系起来，最终诞生出这只死活不定的薛定谔猫，结论似乎否定了宏观世界存在可以区分的量子态的叠加态。然而，随着量子光学的发展，人们研究各种制备宏观量子叠加态的方案，1997年科学家终于在离子阱中观察到这种“薛定谔”猫态，即一个被观察的粒子在同一时间里处于两个不同的状态。薛定谔的问题还可以进一步扩展为：宏观世界中是否存在量子效应？事实上，大量实验事实都肯定地回答了这个问题。最近几年引起广泛兴趣的玻色爱因斯坦凝聚的实验研究进展更有力地证实了宏观量子效应。2.EPR佯谬“EPR佯谬”在近60多年的量子力学发展中起着重要的推动作用。这个实验是爱因斯坦等人与量子力学创始人之一的玻尔就有关量子力学是否自洽、是否完备的学术争论而引发的一系列假想实验中的一个著名的思想实验。1935年由爱因斯坦与波多尔斯基(B.Podolsky)、罗森(N.Rosen)联名发表一篇论文，以思想实验结论的方式对量子力学的完备性提出了质疑。量子力学是否自洽是否完备“EPR佯谬”思想实验爱因斯坦(A.Einstein)玻尔波多尔斯基(B.Podolsky)罗森(N.Rosen)定域实在论：1)引入了物理实在的假定：如果一个系统，在不对其干扰的情况下能够确定性地预言某一物理量的值，就说这个物理量是客观实在，它对应一个物理实在的元素。2)关于完备的物理理论的假定：一个完备的物理理论必定包含对所有的物理实在的描述。3)关于定域性的假定：对于两个离得非常远的系统，对其中一个系统的测量不能及时影响到另外的系统，即不存在超距的相互作用。EPR佯谬的Bohm表述：12ABABAB测量：z如果，那么。1Az1Bz测量：x如果，那么。1Ax1Bx112xAAABAB112xBB1Az1Bz如果，那么。1Ax1Bx如果，那么。这场争论的本质——真实世界是遵从爱因斯坦的局域实在论，还是玻尔的非局域理论？判定这场战争的依据——基于爱因斯坦的隐参数理论推到得到的贝尔不等式！类似测量：y如果，那么。1Ay1By即、、都是物理实在要素，它们在(B粒子)测量之前客观上都同时具有确定值。xyz而按照量子力学的观点，由于B粒子的三个自旋算符彼此不对易，它们本来客观上就是不能同时具有确定值的。1Ay1By如果，那么。二Bell不等式12ABABAB单次测量有。,,1AbBb,,,PabdAaBb多次测量，在、两个方向测量结果的关联函数为ab类似的可以测量、,Pac,Pbc,,PabPac(),,,,dAaBbAaBc(),,,,dAaBbAaBc(),,1,,dAaAbAbBc1.最初的Bell不等式(),,1,,dAaAbAbBc,,PabPac()1,,dAbBc()1,,dAbBc,,1,PabPacPbc这就是根据隐变量理论得出的Bell不等式！,,PabPac根据量子力学，A、B两个粒子组成一个统一的纠缠态，对A粒子沿方向和B粒子沿方向的测量所得的平均值为ab,cos,ABABABPabababcos,cos,1cos,abacbc这很容易破坏。比如，取三矢量共面，夹角为:11/2量子力学的结果,/3ab,/3bc,2/3ac，，2.CHSH不等式CHSH不等式在推广Bell不等式中，考虑到这类关联测量实验中的一些失误或误差因素。比如，对A(B)测量中仪器设备有时可能失效，这时按实验规定，仪器装置给出对A(B)的测量值为零；再比如，制备出的EPR对可能不纯，因此同时沿同一方向测量A和B的自旋关联并不严格相反等等。这样1,,1AaBb关联函数,,,PabdAaBb注意：,1,1AaBb,,PabPac(),,,,(),,1,,dAaBbAaBcdAaBbAdBc(),,1,,dAaBcAdBb,,PabPac(),,1,,dAaBbAdBc(),,1,,dAaBcAdBb()1,,dAdBc()1,,dAdBb2,,PdcPdb写成对称形式,,PabPac,,2PdcPdb,,,,2PabPacPdcPdb量子力学的结果2222ABABabdcI,,,,0ABABABABabacdcdb令ABABabdbABABdcac那么24,,AABBIadbc44ABIadbc244而22所以22例如,cos,ABABABPabababadcb454545,,,,2PabPacPdcPdbcos,cos,cos,cos,abaccdbd22与矛盾！3.无不等式的Bell理论-GHZ定理上面都是借助于对各种不等式的破坏来揭示量子态的空间非定域性质。由于实验中测量的关联函数均为态中的平均值，因此，关于破坏与否的论断都是以统计方式作出的。事实上，也可以找到无不等式的Bell定理，使得人们可以用一种确定的、非统计的方式来揭示量子态的这种非定域性。对于三粒子GHZ态，存在一组相互对易的可观测量，对于这组力学量的测量，量子力学将以确定的、非统计的方式给出与经典定域实在论不相容的结果。GHZGHZGHZGHZGHZGHZGHZGHZABCxyyABCyxyABCyyxABCxxx三粒子GHZ态1GHZ0001112ABC对GHZ态有按照定域实在论观点，客观上应该存在一组数满足1,1,1ABCABCABCxyyyxyyyxmmmmmmmmm1ABCxxxmmm和而前三个式子相乘得到，与最后一个矛盾！1ABCxxxmmm量子纠缠状态(entangledstates)：指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联状态，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性。量子纠缠状态是微观世界物质间的特有现象，因此也是量子信息理论中特有的概念。量子系统能够纠缠是实现信息高速的不可破译通信的理论基础。三量子纠缠状态一)两体系统量子态分类1.可分离态与纠缠态可分离态：是这样一些纯态和混态，它们的密度矩阵可以写成一些未关联态之和kkABkABkp1kkp不可分离态：又称作纠缠态(包括纠缠纯态和纠缠混态)，是所有不能写成上式形式的，即不能写成可分离态形式的态。(1)ABABABaa例如，下述混态当均是纠缠的1/2aa=1/2时，的可分态形式。AB第一题作业！2.Schmidt分解定理适用对象：二子系系统的纯态定理内容：二粒子系统A、B，其Hilbert空间记为，该空间的任一纯态，能表示成如下的标准形式：。其中为中的一组正交归一化态，为中的一组正交归一化态。ABABiABipiiAiAHBHBiABHH说明：1)和可以是不同维数的；2)对于、的非零本征值，如果不存在简并的本征值，则Schmidt分解由和唯一确定；3)如果、的本征值存在简并，Schmidt分解AHBHABABAB的表示不唯一。3.GHJW定理混合态纯化：对于任意一个混合态，总可以找到一个扩展的Hilbert空间的纯态，该混合态可表示为该纯态的约化态，则这个扩展的纯态称为该混合态的纯化。iiABiipiipiiABABTr令iuiiiABABABiipiipiuiIuGHJW定理：同一个混合态的两个不同纯化之间相差一个扩展空间（约化空间）的幺正变换。二)可分性判据两体态可分离性的部分转置正定判据----Peres判据两体双态系统密度矩阵是可分离态的充要条件为：对其任一体做部分转置运算后所得矩阵(或)仍是半正定的(即不出现负本征值)。也即，对两体中任一体做部分转置后得到的矩阵仍然是个密度矩阵。ABBTABATAB部分转置，比如对B做部分转置，其含义是BT000100000001ABABABABAB020100ABAB030101ABAB000100000010BTABABABABAB020100ABAB030110ABAB如果qubit列的叠加状态无法用各qubit的张量乘积表示，这种叠加状态就称为量子纠缠状态。三)量子纠缠状态例：量子态111110010001001022222量子态11011022可分态最初两位qubit是纠缠状态，这个量子态也是纠缠态。再看量子态111010011100101011001222纠缠态四个Bell态4个贝尔态基都是纠缠状态！101102101102100112100112生成Bell态的量子态变换回路00011011贝尔状态是qubit对的一组正规直交基底。Bell态的性质100112得到00的概率22110000001122得到01的概率2210101001102得到10的概率2211010001102得到11的概率22111111001122注意：当第一位的测定结果为0时，第二位也必定为0；当第一位的测定结果为1时，第二位也必定为1。在量子纠缠状态中，qubit对之间存在一种超强的作用力，即“量子相关作用”的相干关系。