chap3多自由度系统振动3

第3章多自由度系统的振动机械工程学院王文瑞博士，副教授[e-mail]3多自由度系统振动2习题课1建立系统的动力学微分方程牛顿第二运动定律)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmmm1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)xMk/2mk/2l拉格朗日方程法2()00Mmxmlkxmlmlxmgl2多自由度线性系统的振动求解两自由度线性系统自由振动求解步骤：Step1：建立运动微分方程：质量矩阵[M]、刚度矩阵[K]Step2：解频率方程，求固有频率12;ppStep3：求振幅比Step4：根据初始条件求12;vv21)2(1)1(1,,,AAStep5：自由振动响应(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)22211112122()sin()sin()()sin()sin()xtxxAptAptxtxxAptApt【例题】：例：图示二自由度系统：k1＝k2＝k，k3＝2k，m1＝m，m2＝2m。求：在初始条件下系统的响应。102010201.2;0;0xxxx当t=0时初始条件m1m2k3k1k2x1x2解：20[][]302kkmKMkkm系统微分方程令系数行列式为零，得到特征方程：假设方程解1122sin()sin()xAptxApt将(2)代入(1),得到1221112232220000kkkmxxkkkmxx2111122212220kpmkkkpm解：求解特征方程系统固有频率为1kpm252kpm求振幅比22222222112AapcbdpA1221121111AapcbdpA1v11v2节点解：由初始条件求振幅102010201.2;0;0xxxx2(1)22102012102022112(2)2110202110202122()1()0.4()1()0.8xxAxxpxxAxxp121020121020211020211020()arctan2()arctan2pxxxxpxxxx解：(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)22211112122()sin()sin()50.4cos0.8cos2()sin()sin()1510.4cos0.8cos2250.4cos0.4cos2xtxxAptAptkkttmmxtxxAptAptkkttmmkkttmm系统的自由响应为102010201;0xxxx讨论：当初始条件为的系统响应？解：102010201;0xxxx由初始条件(1)21(2)2111(1)0112121(111)00112AA12系统响应(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)22211112122()sin()sin()cos()sin()sin()coskxtxxAptApttmkxtxxAptApttm【课堂练习】：对例所示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下两组初始条件的响应：102010201;0;0xxxx（1）初始条件102010201;1;0xxxx（2）初始条件4.2自由振动的求解第4章两自由度线性系统的振动【内容回顾】─振幅比与主振型20KpMA1221111111210ApmkkA2222111221210ApmkkA•第一阶主振型：质量m1与m2沿相同方向运动；•第二阶主振型：质量m1与m2沿相反方向运动。1v11v2节点4.2自由振动的求解第4章两自由度线性系统的振动【内容回顾】─初始条件的响应2(1)22102012102022112(2)2110201110202122()1()()1()xxAxxpxxAxxp121020121020211020211020()arctan()arctanpxxxxpxxxx─自由振动响应是两种主振动的叠加(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)22211112122()sin()sin()()sin()sin()xtxxAptAptxtxxAptApt•一般初始条件下，两种不同频率主振动的叠加，不一定是简谐振动；•某种特殊条件下，以某一阶固有频率按相应的主振型振动，为简谐振动。•某种特殊条件下，会发生一种称为拍振的特殊振动形态。3拍振现象两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。得到摆做微小振动的微分方程：221121222221()()mlmglkamlmglkalgp12222mlkalgp求解频率方程：求系统的振幅比：1112第一主振动)sin(11)1()1(1tp)sin(11)1()1(2tp)sin(22)2()2(1tp)sin(22)2()2(2tp第二主振动系统的自由响应振动(1)(2)111(1)(2)1122sin()sin()ptpt(1)(2)222(1)(2)1122sin()sin()ptpt若初始条件（t=0时）：10212(0);(0)0;(0)(0)00)2()1(21122得到双摆作自由振动的规律0112(coscos)2ptpt0212(coscos)2ptpt若弹簧的刚度k很小，即222kamllg＜＜212110coscos22pppptt212120sinsin22pppptt12Δppp拍频率p1、p2相差很少。拍振周期322π2πΔBmTglpka10Δcoscos2aptpt20Δsinsin2aptpt212pppa•拍振是一种比较普遍的现象，凡是由两个频率相近的简谐振动合成的振动，都可能产生拍的现象；•某种特殊初始条件下，使得两个质量的振幅相等或相近的，可能导致拍振的出现•拍振的周期取决于系统参数。一般刚度越小，周期越长；质量越大，周期越长。【小结】1122sinsinxBtxBt4受迫振动求解相应非齐次方程的特解（考虑简谐激励）1112122122212322()sin()sinmxkkxkxFtmxkxkkxFt引入121kkam21kbm22kcm232kkdm111Ffm222Ffm11212122sinsinxaxbxftxcxdxft原方程的改写为设特解为11212122sinsinxaxbxftxcxdxft得到关于振幅B1、B2的非齐次代数方程组将特解带入原方程21212122()()aBbBfcBdBf由此解出强迫振动的振幅2121221222()()()()dfbfBcfafB进而得到系统的稳态响应其中222222212()()()()()adbcpp1122sinsinxBtxBt讨论：1、响应为简谐振动，振动频率为干扰力频率。2、振幅大小不仅和干扰力的幅值大小F1、F2有关，且和干扰力的频率有关。3、当＝p1或＝p2时，振幅B1、B2将会增大，发生共振，可能出现两次共振,共振时的振型就是相应的主振型。4、实践中经常用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型判定固有频率的阶次。22122112()()BcfafBdfbf122112121112()()pBcfapfvBdpfbf222122221212()()pBcfapfvBdpfbf2121221222()()()()dfbfBcfafB1122sinsinxBtxBt【例题】：已知：k1＝k2＝k，k3＝2k，m1＝m，m2＝2m；F1(t)=F1sinωt，F2(t)=0。求：系统的响应。m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)解：1kpm252kpm11212前面求解得到11Ffm20f根据已知带入公式求得振幅221211222222122121222222212()(32)()()()(52)()()()()(52)dfbfkmFBppkmkmcfafkFBppkmkm1122sinsinxBtxBt系统响应1、11122sin0sinsinxBtFxBttk2、22132BkBkm121211132pBkvBkmp2222121322pBkvBkmp当2112211222(32)0()(52)()(52)kmFBkmkmkFFBkmkmk232km反共振思考题已知机器质量m1=90kg，减振器质量m2=2.25kg，机器上有一偏心质量m'=0.5kg，偏心矩e=1cm，机器转速n=1800r/min。试问∶(1)减振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零?(2)此时减振器的振幅B2为多大?(3)若使减振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变减振器的参数?