古典概率

若某实验E满足1.有限性：样本空间S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=…=P(en)则称E为古典概型，也叫等可能概型。1.3古典概型23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得。也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10。我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同。S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2设试验的样本空间共有N个等可能的基本事件，其中有且仅有M个基本事件包含于随机事件A，则A的概率为：NMAP)(P(A)具有如下性质(1)0P(A)1；(2)P()＝1；P()=0古典概型中的概率(概率的古典定义):例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩N={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}M={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}87)(NMAP无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式nn-1n-2n-k+1组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法)!(!!!knknkPknCknkn抽球问题例:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A表示取到一红一白25CN1213CCM6.053)(251213CCCAP答:取到一红一白的概率为0.6一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是nNknMNkMCCCp在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景。练习：1、袋中有4个白球、6个红球，从中随机取4个，求取到2白2红的概率。2、10个钉子中有三个是坏的，随机抽取4个，求（1）恰有2个是坏的（2）4个全是好的的概率。略解：429.073)(4102624CCCAP3.0103)(4102723CCCBP167.061)(41047CCCP*分组问题例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组!10!10!10!30101010201030CCCN20350!3)(99918927NCCCAP203183)(10101020727NCCCBP!!....!1mnnn一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第i组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：练习：20名运动员中有2名种子选手，现将运动员平分成2组，问2名种子选手（1）分在不同组（2）分在同一组的概率。略解：526.02)(1020918CCAP474.02)(1020818CCBP例：袋中装有1、2、……N号球各1只，采用（1）有放回（2）无放回方式摸球，每次摸1球，求第k次首次摸到1号球的概率。解：NPPBPNKNNNNAPKNKNKKK1)(~,2,11)11()1()(1111故抽签与顺序无关例：袋中有a只白球与b只黑球，除颜色不同其它方面无差别，现在把球随机地一只只摸出来，求第k次摸出的球是白球的概率。分析：把a只白球与b只黑球看作是不同的，对它们进行编号，若把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上，则可能的排法为(a+b)!，把它们作为样本点全体，第k次摸得白球有a种取法，而另外(a+b-1)次摸球相当于对a+b-1只球进行全排列。解：无关与kbaababaaP)!()!1(例：一部四本头的文集按任意次序放在书架上，问各册自右向左或自左向右恰成1、2、3、4顺序的概率。解：083.0121!42p例：将3个球随机放入4个杯子，问杯中球的最大个数分别是1、2、3的概率。解：设Bi（i=1、2、3）表示杯中球的最大个数为i375.0834)(3341PBP0625.016144)(33BP5625.01694)(31314232CCCBP例:设有n个球,每个都以相同的概率1/N落到N个格子中(N大于等于n)，试求（1）指定的n个格子中各有一球（2）任何n个格子中各有一球（3）某指定的一个格子中恰有k个球（4）恰好n-1个格子里有球解：（1）由于每个球可N个格子中的任一个，所以共有Nn种可能nNnP!1)!(!!22nNNNNnCnnnNP）（（3）由于在n个球中选出k个有Cnk种选法，而其余的n-k个球可任意放在N-1个格子中，这种放法有（N-1）n-k种nknknNNCP)1(33）（12122142!)!2(nnNnnnNNCnNnCNCP（4）这意味着一个格子有2个球，而另n-2个格子内各有1球，可先任取落入2个球的一个格子，有N种取法，再任取落入1个球的n-2个格子，有CN-1n-2种取法，最后将球落进去。概率论历史上著名问题：求参加某次集会的n个人(n365)中没有两个人的生日在同一天的概率。把n个人看作上面问题中的n个球，把一年的365天作为格子，则N=365，现在我们假设n=40，则109.0)!40365(365!3653654040403652PP没有两人生日相同的概率竟然是意外的小！例：从n双不同的鞋子中任取2r（2rn）只，求下列事件发生的概率。（1）没有成对的鞋子（2）只有一对鞋子（3）恰有2对鞋子（4）有r对鞋子。解：rnrrnnrnrrnCCCPCCP2222221122222122rnrrnnCCCP2242422232rnrnCCP224练习：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。3316241222516CCCP1.4几何概型在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率，但是古典概型是在假设试验的基本事件有限个的情形下给出的，显然不适用于试验的基本事件为无穷多个的情形。这类问题一般可以通过几何方法来求解。先看几个简单的例子：–某人午睡醒来发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。–如果在一个5万平方公里的海域有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？–在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，现从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。在上述这类问题中，试验的可能结果是某区域中的一点，这个区域可以是一维的、二维的、三维的，甚至是n维的，这时可能结果的全体或我们感兴趣的结果都是无限的，等可能性可以理解为：在区域G内任意投掷一点，落在区域G内任何部分g的概率只与这部分的测度（长度、面积、体积等）成正比而与其位置和形状无关。因此，若以Ag记“在区域G中随机取一点落在区域g中”这一事件，其几何概率定义为：的测度的测度GgAPg)(例：（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人15分钟，过时就可离去，求两人能谋面的概率。例：在区间（0，1）中随机抽取2个数，求下列事件的概率。（1）两数之和小于6/5（2）两数之积小于1/4解：设x，y表示（0，1）中的2个数，则Ω为正方形区域：0≤x≤1，0≤y≤16.04ln414141141)2(68.0251715454211)1(141dxxPP例：在线段AB上有一点C介于A、B之间，AC长度为a,线段CB长度为b，且ab，在AC上随机取一点x，在CB上随机取一点y，求AX、XY、YB可构成三角形的概率。解：设线段AX、YB长度分别为x，y，则XY长度为a+b-x-y，0≤x≤a，0≤y≤b，为构成三角形必须：x(a+b-x-y)+y即x(a+b)/2y(a+b-x-y)+x即y(a+b)/2a+b-x-yx+y即x+y(a+b)/2故：ababbP22/2例：在一张打上方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格边长要多少才能使硬币与线不相交的概率小于1%？解：设方格边长为a，且a1情形%19109101.0101.0)1}{22时不相交概率小于故当边长（硬币与线不相交aaaaaaPa1/2例：（蒲丰问题）平面上画着一些平行线，它们之间距离都等于a，向此平面任投一长度为l（la）的针，求此针与任一平行线相交的概率。解：设x表示针的中点到最近一条平行线的距离，φ表示针与线的夹角，显然0≤x≤a/2，0≤φ≤π，为使针与平行线相交必须aladlPlx221sin21sin20故可通过该试验计算π1.5概率的公理化定义前面我们讨论了概率的统计定义、古典定义和几何定义，其中，古典定义和几何定义只是分别说明了两类很特殊的试验的情形，远远没有穷尽所有的试验，而统计定义虽然直观，但不够严密，实际中不可能都去做大量的试验而得出每个事件的频率稳定值。那么，对于一般的随机现象如何定义事件的概率呢？在十九世纪末开始的数学公理化潮流的影响下，1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构，他综合了前人的成果，给出了概率的公理化定义，使概率论成为严谨的数学分支。概率的公理化定义概率的性质•不可能事件Φ的概率为0，即P(Φ)=0•若事件A包含于事件B，则P(A)≤P(B)•任一随机事件Ａ，０≤Ｐ(Ａ)≤1•对立事件的概率之和为1证明：)()()()(1APAPAAPPAAAA由有限可加性因为概率的性质•减法公式：P(B-A)=P(B)-P(AB)证明：•若Ａ包含于Ｂ，则P(B-A)=P(B)-P(A）•加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)）（）（）（）（因此）（）（）（故互不相容与ABPBPBAPABPBAPABPBPBAABBAABB练习：将15名新生（其中有3名优秀生）随机分配到三个班级，其中一班4名，二班5名、三班6名，求（1）每班分配1名优秀生（2）3名优秀生被分配到同一班级的概率。解：总的分法有C154C115C66种（1）将3名优秀生分配给每班有3！种分法，再将剩余的12名新生分到各班有C123C94C55种分法，根据乘法法则（2）设Ai表示事件“3名优秀生全部分到第i班”，i=１、2、3，则9124!3665114155549312CCCCCCP07473.0)()()()(04396.0!15!3!12!6)(02198.0!15!2!12!5)(00879.0!15!12!4)(3216651141533584123665114156628412266511415665111121APAPAPAPCCCCCCAPCCCCCCAPCCCCCCAP例：袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，求第K次摸到黑球的概率。解：设A表示第K次摸到黑球，其对立事件B为第K次摸到白球，它等价于前K-1次摸到黑球第K次摸到白球。因此：NNBPAPNNNNBPKKKK1)11(1)(1)(1)11()1()(111例：从5双不同号码的鞋子中任取4只，求至少有2只配成1双的概率。解：先考虑不利场合：从5双中任取4双，再从取出的每双中各取一只，根据乘法原理，不利场合总数为总的抽法是2113)(1)(218)(410410121212