数列的概念与简单表示法(共47张PPT)

[小题热身]1．(2017·济南二模)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，13，132，133，…B．sinπ13，sin2π13，sin3π13，sin4π13，…C．－1，－12，－13，－14，…D．1,2,3,4，…，30解析：数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sinπ13，sin2π13，sin3π12，sin4π13，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是摆动数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．答案：C2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.当n＝1时符合上式，∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.答案：A3．(必修5P31例3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5＝()A.32B.53C.85D.23解析：a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1－1a2＝12，a4＝1＋1a3＝3，a5＝1－1a4＝23.答案：D4．(2017·广东测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝32(an－1)(n∈N*)，则an＝()A．3(3n－2n)B．3n＋2C．3nD．3·2n－1解析：a1＝S1＝32a1－1，a1＋a2＝32a2－1，解得a1＝3，a2＝9，代入选项逐一检验，只有C符合．答案：C5．已知数列n2n2＋1，则0.98是它的第________项．解析：n2n2＋1＝0.98＝4950，∴n＝7.答案：76．若数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，那么这个数列是________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)解析：法一：令f(x)＝xx＋1，则f(x)＝1－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．法二：∵an＋1－an＝n＋1n＋2－nn＋1＝1n＋1n＋20，∴an＋1an，∴数列{an}是递增数列．答案：递增[知识重温]一、必记5●个知识点1．数列的有关概念概念含义数列按照①________排列的一列数数列的项数列中的②________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③________表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝④_________________叫做数列的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)a1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点⑤________画在平面直角坐标系中通项公式把数列的通项使用⑥______表示的方法公式法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法(n，an)公式3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝⑦，n＝1，⑧，n≥2.S1Sn－Sn－14．数列的分类递增数列∀n∈N*，⑨__________递减数列∀n∈N*，⑩________单调性常数列∀n∈N*，an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性,周期数列,∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝anan＋1anan＋1an5.常见数列的通项公式①自然数列：(1,2,3,4，…)an＝n；②奇数列：(1,3,5,7，…)an＝2n－1；③偶数列：(2,4,6,8，…)an＝2n；④平方数列：(1,4,9,16，…)an＝n2；⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…)an＝2n；⑥倒数列：1，12，13，14，…an＝1n；⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…)an＝n(n＋1)；⑧重复数串列：(9,99,999,9999，…)an＝10n－1；⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999，…)an＝1－10－n；⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…)an＝(－1)n.二、必明2●个易误点1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]写出下列各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….[解析](1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n项的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝13(10n－1)．—[悟·技法]—用观察法求数列的通项公式的方法(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．—[通·一类]—1．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解析：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.考向二由an与Sn的关系求通项an[互动讲练型][例2]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.[解析](1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.—[悟·技法]—已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．—[通·一类]—2．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解析：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.考向三由递推关系式求通项公式[互动讲练型][例3]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.[解析](1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.又a1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式，因此an＝nn＋12＋1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.—[悟·技法]—由递推关系式求通项公式的类型与方法(1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．(2)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．—[通·一类]—3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝2anan＋2.解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由于an＋1an＝2n，故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2nn－12，故an＝2nn－12.(3)∵an＋1＝2anan＋2，取倒数得：1an＋1＝an＋22an＝1an＋12，∴1an＋1－1an＝12，∵a1＝1，∴1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1an＝1＋(n－1)·12＝n＋12，∴an＝2n＋1.考向四数列的性质及其应用[互动讲练型][例4]数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1an，求实数k的取值范围．[解析](1)由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即