1-5-独立事件

下回停一、事件的相互独立性二、独立试验序列概型第五节事件的独立性一、事件的相互独立性由条件概率，知)()()(BPABPBAP一般地，)()(APBAP这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP1.两个事件的独立性则有)(ABP.发生的可能性大小的发生并不影响它表示BA)()(BPABP)()()(BPAPABP53)(BP，则若0)(AP(1)引例盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回地取两次，记A＝第一次抽取，取到绿球，B＝第二次抽取，取到绿球，.,,,)()()(,,独立简称相互独立则称事件如果满足等式是两事件设BABABPAPABPBA注1º则若,0)(AP)()(BPABP)()()(BPAPABP说明事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.(2)定义1.92º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥AB,21)(,21)(BPAP若).()()(BPAPABP则例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11ABAB由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.两事件相互独立两事件互斥.AB)(21)(,21)(如图若BPAP)()()(BPAPABP故由此可见两事件互斥但不独立.,0)(ABP则,41)()(BPAP又如:两事件相互独立.两事件互斥可以证明：特殊地，时，有当0)(,0)(BPAPA与B独立A与B相容(不互斥)或A与B互斥A与B不独立证若A与B独立,则)()()(BPAPABP0)(,0)(BPAP0)()()(BPAPABPAB故即A与B不互斥(相容).若A与B互斥，则AB=B发生时，A一定不发生.0)(BAP这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发生),即B的发生造成A发生的概率为零.所以A与B不独立.BA理解:1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.证∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()P(A)即与A独立.∵A=,P()=0∴P(A)=P()=0=P()P(A)即与A独立.(3)性质1.52)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①；与BA②；与BA③.BA与证①BAABBBAAA)()()()(BAPABPAP)()()(ABPAPBAP注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.又∵A与B相互独立)()()(ABPAPBAP)()()(BPAPAP)](1)[(BPAP)()(BPAP③)(对偶律BABA)()(BAPBAP)(1BAP)(1BAP)]()()([1ABPBPAP)]()()()([1BPAPBPAP)](1)[()](1[APBPAP)](1[)](1[BPAP).()(BPAP的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机不被击中的概率.解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机不被击中}CAB由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,A因而与B也独立.则例1甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机依题设,5.0)(,6.0)(BPAP()()PCPAB()()PAPB(10.6)(10.5)0.40.50.2.,,),()()(),()()(),()()(,,,两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA定义2.多个事件的独立性(1)三事件两两相互独立的概念定义1.10.,,),()()()(),()()(),()()(),()()(,,,相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA(2)三事件相互独立的概念设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(1≤k≤n),及1≤i1i2···ik≤n若事件A1，A2，…，An中任意两个事件相互独立，即对于一切1≤ij≤n,有)()()(jijiAPAPAAP.21两两相互独立，，则称nAAA.12)11(1032个式子共nCCCCCnnnnnnnn定义1.11)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP有.21相互独立，，则称nAAA定义(3)n个事件的独立性一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问A,B,C是否相互独立?解由于在四面体中红,白,黑分别出现两面,因此,21)()()(CPBPAP又由题意知,41)()()(ACPBCPABP相互独立nAAA,,,21两两相互独立nAAA,,,21伯恩斯坦反例注例2故有因此A、B、C不相互独立.,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件A,B,C两两独立.由于41)(ABCP),()()(81CPBPAP.)2(,)2(,,,.121个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件　　　nkknAAAn)(.,,,,,)(,,,.运算封闭独立性关于个事件仍相互独立所得的立事件们的对中任意多个事件换成它则将相互独立个事件若　　　nAAAnAAAnnn212122两个结论n个独立事件和的概率公式:nAAA,,,21…设事件相互独立,则）…nAAAP211()(121nAAAP…)()()(nAPAPAP…211也相互独立nAAA,,,21…即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用)()()(121nAPAPAP…类似可以得出：nAAA,,,21…至少有一个不发生”的概率为“)(nAAAP…21121(nPAAA…）121()nPAAA…假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解}{毒个人的血清含有肝炎病第记iAi则004.0)(iAP12100BAAA}100{肝炎病毒个人的混合血清中含有B1,2,,100i例3若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,依题设，相互独立10021,,,AAA)()(10021AAAPBP)(110021AAAP)(110021AAAP)()()(110021APAPAP1001)](1[1AP100)004.01(1100)996.0(133.0一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常工作的概率.设一个元件的可靠性为r.如果一个系统由2n个元件组成，每个元件能否正常工作是相互独立的.(1)求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性；(2)问：哪个系统的可靠性更大？事件的独立性在可靠性理论中的应用：例4系统Ⅰ.系统Ⅱ.},{个元件正常工作第设iAirAPi)(则设B1={系统Ⅰ正常工作}①②…n+22nn+1…12n…n+22nn+112n1,2,,in解B2={系统Ⅱ正常工作}设C={通路①正常工作}，D={通路②正常工作}∵每条通路正常工作通路上各元件都正常工作而系统Ⅰ正常工作两条通路中至少有一条正常工作系统Ⅰ.①②…n+22nn+1…12nDCB1nnnnAAAAAA22121考察系统Ⅰ:12()()nPCPAAA12()()()nPAPAPAnr122()()nnnPDPAAA122()()()nnnPAPAPAnr1()()PBPCD()()()PCPDPCD(2)nnrr∴系统Ⅰ正常工作的概率:()()()()PCPDPCPDnnnnrrrr系统Ⅱ正常工作通路上的每对并联元件正常工作B2={系统Ⅱ正常工作}11222()()()nnnnAAAAAA()()()()iniiniiniPAAPAPAPAArrrr(2)rr(1,2,,)in()()()()iniiniPAPAPAPA考察系统Ⅱ:)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP所以，系统Ⅱ正常工作的概率：nrr)]2([nnrr)2((2)问：哪个系统的可靠性更大？10rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf2)2(,12)2(1)1()2)2((2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即即是凹的，从而故曲线，则令nnrr2)2()()(12BPBP即系统Ⅱ的可靠性比系统Ⅰ的大.二、独立试验序列概型1.定义1.12(独立试验序列)设{Ei}(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空间为i,设Ak是Ek中的任一事件,Akk,若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei(ik)的结果,则称{Ei}是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.例5原，连取k次，独立进行试验，试求此k个数字中最大者是m(m≤10)这一事件Bm的概率.解令表示比k个数字中最大者不大于m这一事件，则mA()10kmmPA显然，1mmAA，令1mmmBAA，则11()()()1010kkmmmmmPBPAPA从1，2，...，10个数字中任取一个，取后还则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.若n次重复试验具有下列特点：1)每次试验的可能结果只有两个A或,ApAPpAP1)(,)(且2)各次试验的结果相互独立，(在各次试验中p是常数，保持不变）2.n重贝努利(Bernoulli)试验实例3(球在盒中的分配问题)设有n个球，N个盒子.试验E：观察一个球是否投进某一指定的盒中.A={该球进入指定的盒中}实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.B={某指定的盒中恰有m个球},求P(B).易知，NAPNAP11)(,1)(设En:观察n个球是否投进某一指定的盒中则En是将E重复了n次，是贝努里概型.mnmmnAPAPCBP)]([)]([)(mnmmnNNC)11()1())1((mnmmnmnmmnqpCppC解一般地，对于贝努里概型，有如下公式：如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p(0p1),则在n次试验中，A恰好出现k次的概率为：knkknnppCkP)1()()1;,,2,1,0(pqnkknkknqpC.1)(0nknkP且3.二项概率公式定理,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX所有可能取的值为则X.,,2,1,0n,)0(时当nkkX.次次试验中发生了在即knA次kAAA,次knAAA次1kAAAAA次1knAAA推导如下:次的方式共有次试验中发生在得knA,种knC且两两互不相容.称上式为二项分布.记为).,(~pnBX次的概率为次试验中发生在因此knAknkknppC)1(pq1记knkknqpC解依题设，enAPnn!)()0;,2,1,0(n),2,1,0(}{nnAn个卵每只蚕产了设例6若每蚕产n个卵的概率为!nλnλPen(n=0