量子信息导论

量子信息论基础之经典信息论简介基本内容：信息的基本概念和度量：香农熵信源与信道：互信息量，信源编码香农定理什么是信息：获得消息和消除掉的不确定性信息量：消除不确定性的度量例子：事件x,出现概率为P(x)特征：小概率事件信息量大P(下雨)P(地震)度量事件x的信息量：自信息量I(x)=-log[P(x)]信息论中，常以2为底数事件集合：事件集的信息熵：事件中各事件自信息量的统计平均性质：正定性：可加性：强可加性：上凸性:H(X)=0香农熵：信源和信道信源：物理属性（空间，时间），概率属性（无记忆，Markov信源），数学属性（离散，连续）信道：传送信息inputoutput信道传输概率矩阵:噪声信道数学表示互信息量：接收信息B后消除的对A的不确定性（具有对称性）事件集{A,B}的总熵：零概率事件：某些情况下，零概率不一定表示不可能发生。例如在实数轴上取点得有理数或整数的概率为零，但还是会发生。零概率事件给出信息无穷大，但是由于出现概率为零，对整体信息量计算没有影响。x*logx=logx/(1/x)---x--0whenx--0各信息量之间的关系图H(A|B)H(B|A)H(A)H(B)I(A,B)H(A,B)事件集的互信息量：信道容量：对于给定的信道，总存在一种信源，使得信息的传输率最大，这个最大值定义为信道的容量.信源与信道的匹配性：R=C匹配；RC不匹配；信道剩余度：C-R信道的信息传输率R：信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s）形式予以表示，简记为bps。信源编码：在不失真或者减小失真的情况下尽量减少信号传送信息，提高传输率信源信源编码信道编码信宿信源译码信道译码信道编码目的：适用于信号传输，增加抗干扰，保证尽可能大的传输率编码：使信源符号序列和码字符号C中的码字之间建立的一一对应关系信源输出符号集合：编码符号集合：码元码字：信源编码：依据输出符号的统计特性，寻找一定的方法，把信源输出的序列变成最短的码字序列，使每个码字携带的平均信息最大。例子：S:s1s2s3s4P:1/21/41/81/8编码a：00011011编码b：010110111码字集合：平均码长：新信源的传输率：信源符号的平均信息量（比特/信源符号）编码符号数（码元符号/信源符号）码元符号的平均信息量（比特/码元符号）香农定理：1948年，香农第一定理（无失真的信源编码定理）{A_i}{P(A_i)}能否用m个元素来表示？mn要保证信号无失真or差别趋于0：例子1：{a,b}with{P(a)=0.99,P(b)=0.01}二次扩展信源符号集合{aa,ab,ba,bb}相应概率{0.9801,0.0099,0.0099,0.0001}其中bb出现概率很小，可以近似抛弃，对整体出错率影响不大。故传递三种组合{aa,ab,ba}就可达到很高的传输效果。随着位数的增加，其组合序列中有一些序列的出现概率指数逼近零，故在讨论时可以近似忽略。NB:不是对单个信号一一编码，而是对信源整个符号序列进行编码,降低平均码长。例子2：Shannon编码方法pjsjPjmjuj0.4C00.0000100.18B0.40.011030110.1A0.580.1001410010.1F0.680.1010410100.07G0.780.1100411000.06E0.850.1101411010.05D0.910.111015111010.04H0.960.11110511110按概率大小排序；二进制表示概率；确定码元数目；获得码字第一定理：离散无记忆信源的S^N,其熵为H(S^N),并有码字集合X,总可以找到一种编码方法，使得平均码长满足基本思路：引入典型序列(typicalstring)log(n!)=nlog(n)-+O(logn)(n很大)；)()]1log()1(log[)!1()!(!loglogpnHppppnnpnpnCnpnn很大时，信源不同的n字符串共有2^{nH(X)}个0{,}11-iipXxpp信源123,,NXXX次扩展，，最可能出现的序列，称为典型序列(1)()1212(,,,)()()()(1)2nppnnHXnnpxxxpxpxpxpp()2nHX最多有个典型序列},,,{X21rxxx码元符号：香农第二定理（信道编码定理）目的：加入冗余，增强信号传输稳定性例子：二元对称信道编码：1---111,0---000P0^33*P0^2*P13*P0*P1^2P1^3111110,101,011100,010,001000解码：少数服从多数(111,110,101,011)--1(000,100,010,001)--0错误率：1-P0^3-3*P0^2*P1=3*P0*P1^2+P1^31010P0P0P1定理：当RC时，存在一种编码，一方面可以使得最小平均错误译码率P_{emin}任意小，另一方面又可以使得信道传输率R无限接近信道容量C。量子信息论基础之量子力学基本假设1).量子态：叠加原理2).力学量：厄米算符3).量子态的演化：Schrodinger方程，幺正演化4).测量假设：测量投影假设1)量子态表示、叠加原理量子态--Hilbert空间中的射线Hilbert空间：(a)复矢量空间；(b)定义内积;(c)存在范数(d)完备性同一射线上不同点相差一复数因子，简单起见，取归一化表示，用Dirac符号表示：0101cc101;01022011cc光子原子电子2)力学量：可以被实验观测的量数学上：Hilbert空间中的自共轭算子（厄密矩阵）转置求复共轭：对两个测量算符A和B，其对易算符仍为测量算符：[A,B]=AB-BA；但AB，BA等一般不测量算符，除非[A,B]=0.性质：谱分解定理AA*)(TAAiiiiiiiaPaA3)量子态的演化•孤立系统:Schrodinger方程Hitˆ/where,)0()(iHteUUt幺正演化IUUUUH：系统的哈密尔顿量如果H不含时间保内积的映射4).量子测量假设•VonNeumann测量假定：nnnnnnnaAOperator:测量结果为本征值an之一，相应的概率为2nnP如果测量结果为an，则测量以后系统的状态为n如果未选择测量结果，将其表达为混合态系综的形式nnnn2•说明：测量过程：系统+测量仪器复合系统测量效果：新的量子态制备的过程在量子信息和量子计算中，测量塌缩与态叠加原理互为一对矛盾。量子算法设计中尽量减小不需要结果出现的概率。量子力学基本假设：CopenhagenInterpretation1.量子态：叠加原理2.力学量：厄米算符3.量子态的演化：Schrodinger方程，幺正演化4.测量假设：测量投影假设哥本哈根解释：玻尔,海森堡、玻恩等•测量塌缩的物理机制？Zurek消相干理论(1982)•塌缩的不可逆性，世界为什么选择了一种塌缩？•有其他的塌缩宇宙末？平行宇宙Everett多世界理论(1957)Schrodinger’scat基本假设的延伸•孤立系统纯态假定==〉混合态系统•孤立系统幺正态演化==〉子系统广义演化•测量的投影假定==〉广义测量量子信息论基础之混合量子态和Schmidt分解•(0).空间的直和与直积•(1).混合态:描述复合系统的子系统a态不一定是射线b测量不一定是正交投影c演化不一定幺正BABAba1100纠缠态：ABHHABHHx一些概念•正算符（positiveoperator）•正定算符（positivedefiniteoperator）•向量和矩阵的张量积运算规则：0vAv0vAv101;010100101110101000010AB*,''''iiijjjijijijijijavwbvwabvvww111212122212nnmmmnABABABABABABABABABAB()iiiiiiiiABavwaAvBw,where*,,†xxxABABxT直积运算的基本规律：[]AABAAMMITrMA系统中的力学量AMBAIM1100][][22baTrTrABBABBA约化密度矩阵：iiiiAp一般地：},{iiip组合•系综解释•复合系统纯态的约化状态(2).密度算符的特征•1.自共轭性:•2.半正定性:•3.归一性:•4.对纯态:01][Tr2密度矩阵的演化],[HHHit/iHteU],[HAAit算符演化的Heisenberg方程矩阵的极分解和奇异值分解定理：矩阵的极分解：A为矢量空间上的线性算符，那么存在幺正算符U和正定算符J和K，使得A=UJ=KU，J=(A+A)1/2,K=(AA+)1/2.如果A可逆，则U是唯一的奇异值分解：A为方阵，则存在幺正矩阵U和V，及非对角矩阵D，满足A=UDV，D中的对角元称为A的奇异值。(3).Schmidt分解定理适用对象：两体系统的纯态二粒子系统A,B,其Hilbert空间记为，该空间中的任一纯态均可以表示成如下的标准形式iABABipii其中|i〉为彼此Hilbert空间中的一组正交基说明：•与奇异值分解定理的联系•子系统约化密度矩阵相同;•子系统维数可以不同;•若约化密度矩阵的非零本征值不相等，则Schmidt分解形式唯一确定;•本征值简并时，分解形式不唯一.ABHHH利用纠缠进行光速通讯的不可能性AB在A端进行本地的局域测量，统计测量无法识别两个相同的密度矩阵不能传信息关于量子擦除：相对相位信息的擦除与复原SG(z)SG(z)SG(x)相对相位信息丢失相对相位信息恢复4.GHJW(Gisin-Hughstom-Josza-Wooters)定理•混合态纯化的概念：任何一个密度算符，总可以找到一个扩展空间的纯态，满足扩展纯态的形式不唯一。定理内容：同一个密度算符的任意两个纯化态之间相差一个扩展空间的幺正变换[]ABABTr1.4量子比特及其操作•1.量子比特(Qubit):量子信息的基本单元二能态的量子系统光子原子声子•数学描述•泡利矩阵：3个独立的2x2厄米矩阵任何2x2厄米矩阵均可表示成泡利矩阵的线性组合0101cc101;01022011cc011001=10x01100=0yiiii001110=01z3121311()12PPiPIPPiPP,iiijijkkIi12sin02cosie1()2In(sincos,sinsin,cos)n222123det()01()0||1PPPP混合态：单位球内一点纯态：球面上一点||P一一对应：Bloch矢量1()2IP1[]xxTrP123(,,)PPPP2[]yyTrP3[]zzTrPBloch矢量用途11[()][][()()]22=nTrnTrnTrPnPn一般两qubit系统的密度算符(3).量子比特的操作•单比特操作：二维空间里的特殊幺正变换n(2)anddet()1SUUUUUIU3个自由参数01ˆ;10ˆˆ0110XXXx比特反转相位反转：11ˆ;00ˆˆ100