ZE(统计3讲)量子统计

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞玻色统计和费米统计（２学时）玻色统计1.玻色子系统玻色子是指体系波函数具有交换对称性的一类粒子，其自旋为零或整数个h.玻色统计主要应用于处理简并气体、光子气体、声子气体和低温玻色凝聚等问题：（一）玻色分布考虑玻色子系统：它含有众多的单粒子态。现考虑其中一个单粒子态，当一个粒子占据时，系统的能量为ε，当n个粒子占据时，系统的能量为nε。其微观态可用占据数和能量（N,E）进行描述。可得))):+...)n-(+-2(+-(+n巨配分函数＝1ee(e21+...1nxxxxn＝1()11e2.玻色分布1lnN+平均粒子数=e-11,kTkT()/1()BEkTfe-1上式称为玻色分布函数，其意义是：玻色系统处于平衡态时，各单粒子态（能量为ε）被占据的概率是任意数。(0~)3.玻色分布的性质()/1()0BEkTfe-1/1(0)0BEkTfe-1/1,kTe0性质1：玻色子系统的化学势小于等于零！讨论：根据热力学基本关系式：化学势为零：代表系统粒子数不守恒。化学势小于零：与玻色凝聚有关。1pdSdUdVdNTTT（二）玻色凝聚由于上式含能量项，不能对能量为零的基态进行积分。因此上式不适用的条件就是发生玻色凝聚的条件。1.求转变温度Tc()()BENfd1/23/223()/01(2)4kTVmde-1()/3/21/2231(),1()(2)4BEkTfVdmde-1玻色子组成的理想气体，当温度降低到一个临界值Tc时，有宏观数量的粒子聚焦到基态（能量、动量都为零），这种体系温度还没有达到绝对零度就发生凝聚的现象，称为玻色-爱因斯坦凝聚。1/2玻色子体系的总粒子数设上式中，N不变，温度T下降，因为能级与T无关，所以化学势μ必须随着T的下降而增大。1/2()/0kTNcde-1设T下降到Tc时，化学势μ增大到其最大值（μ＝0）1/2()/0kTNcde-11/2/0ckTcde-11/23/20()cxxckTdxe-13/2()2.6122cckT2/3222.612cNTmkV2.凝聚的粒子数1/2()/0kTNcde-1上式不能对能量为零的基态进行积分。加上基态的粒子数N0进行修正！1/2000()/03/20kTcNNNNcdTNNTe-13/201cTNNT表明：T高于Tc时，基态粒子数约等于零，而当T小于Tc时，基态粒子数快速增加，形成凝聚！量子比特海:涡旋是物质粒子性本质，扰动是物质波动性本质？超导，超流源于玻色-爱因斯坦凝聚！1995年，美国青年学者康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒第一次直接观测到了玻色-爱因斯坦凝聚态，获2001年度诺贝尔物理学奖物理学前沿Awatchedpotneverboils!量子芝诺效应：原子在超冷环境下，发生玻色-爱因斯坦凝聚：即都处于同一能量基态，因此动量很小，其不确定度也很小。根据不确定性原理，动量不确定度很小，则原子的位置不确定度很大，量子从一个位置隧穿到另一位置的概率很大，总之，位置很不确定。若对原子的位置进行测量，原子在测量后会有一段时间处于位置本征态，即：这段时间位置不变！若快速地多次测量位置，则原子总是处于这个位置本征态，即位置可长时间！不能隧穿到别的位置，这就是芝诺效应。一条被观测的运动箭头永远不能达到它的目的地！一个被长期观测的原子不会发生衰变！量子隧穿，原子衰变，等量子行为可以人为地得以控制！Y.S.Patiletal.PRA(2014),PRL(2015)（三）光子气体黑体辐射达到平衡时，腔内的高低频电磁波（光子）相互转换，所以辐射场就是一个光场（光子气体）。光子是玻色子，服从玻色分布。1.光子气体的化学势理想气体通过三个状态参量进行描述，如（T，V，N）。但对于黑体来说，不断地吸收和发射光子，光子数并不守恒，因而黑体中光子气体的化学势为零。所以描述光子气体的玻色分布应写成：0()/1(),e-1BEkTf/1()e-1BEkTf3/21/2231()(2)4Vdmd2.光子气体的状态数：光子的静止质量为零，但我们常用到的以能量为自变量的状态数公式含质量m项，所以不能用。应转换为其他自变量234()Vpdppdph22pm光子自旋在动量方向有两个投影238()Vpdppdph238()Vpdppdphcp223()Vddc上式是光子气体在ω~ω+dω范围内的单粒子状态数(1)3.普朗克公式：()()BEdNfd223/e-1kTVdc/2231()()e-1BEkTfVddc光子气体在ω~ω+dω范围内的粒子数这些光子的总能量：即辐射的能量323/1e-1kTVdEdNdc这就是著名的普朗克公式！323/1()e-1kTVdEEddc323/1()e-1kTVEcmax()02.82dEdkT这就是维恩位移定律：它表明随着温度的升高，辐射能密度的峰位向短波方向移动。323/04323304()e-1e-1kTxVUdEdcVkTxdxcAVT这就是斯特藩－玻尔兹曼定律：黑体辐射能只与温度有关，（成四次方正比），而与黑体的具体材料无关。玻色SatyendraNathBose，1894-1974,印度.西孟加拉邦人1924年，玻色在达卡大学讲课，讲到光电效应时，错把掷两枚钱币两个都正面向上的概率看成是三分之一，却很好地解释了相关实验！玻色发现他的这个错误揭示了量子粒子的根本特性（全同性）。据此，他用统计方法推导出普朗克量公式！但没地方可发表，于是他把论文直接寄给身爱因斯坦。爱因斯坦亲自把论文翻译成德语，并以玻色的名义发表在《德国物理学刊》。他发明的这个统计方法就是：玻色-爱因斯坦统计。后来，爱因斯坦把它应用到粒子物理学，又发现了玻色-爱因斯坦凝聚态但是在系里要评教授时，玻色还不是PhD没希望。爱因斯坦想起了自己早年买不起奶粉钱的屌丝岁月，写信推荐了他，玻色被破格提升为教授。1926年8月，狄拉克发表费米狄拉克统计理论，把服从费米狄拉克统计的粒子成为费米子，服从波色爱因斯坦统计的粒子命名为玻色子。现在，全同性原理，玻色子，玻色-爱因斯坦统计，玻色-爱因斯坦凝聚成为物理经典。虽然很多做这个领域的学者都获得了诺贝尔物理学奖，但这个概念的提出者却没有！为什么呢？4.光子气体的压强：TdSdUPdVdNTdSdUPdV在定容条件下，先求熵：33114(,)(4)3STVdUAVTdTAVTTT41133USUPTATVV31/41/43/444(,)33SUVAVTAVU求压强：辐射场的压强与体系的体积无关，只是温度的函数（四）声子气体温度不高时，晶格上的原子在平衡位置做热振动。既然黑体中的电磁波可视为一个盒中的光子气体。德拜认为这些原子的振动波也可视为盒中的声子（热振动）体系。1.声子的概念：声子是一种弹性波，有纵波和横波两种，纵波只有一个偏振方向，而横波有两个偏振方向。所以由N个晶格构成的晶体的声子共有3N个模声子的粒子性：能量和动量,hphk2.声子气体的化学势同一频率的热振动可以有很多，即占据同一量子态的声子数目不限。所以声子服从玻色分布。平衡状态下热振动是不断的，相当于声子的产生和同一频率的热振动可湮灭，即声子数目是不定的。所以声子气体的化学热为零。/1()BEhkTfe-13.声子气体的状态数：2223348()ltVVdddBdcc与处理光子气体相同的过程，得声子气体的状态数4.德拜波长：200()3DDdBdN39DNB声子的最高频率,ltDDltcc纵波与横波的德拜波长5.晶体的能量：3003/09()DVBEhkTDNhUUfdUde-1330,3()1DDxyhhxykTkTkTyDxdyxe令：03()UUNkTDx4334335435DDDNkxTNkATvv讨论：(1)T,x1,D(x)=1C(2)T,x1,D(x)=C很好地描述了固体热容在高温和低温的行为费米统计1.费米子系统费米子是指体系波函数具有交换反对称性的一类粒子，它是自旋量子数为半奇数的粒子.费米分布主要应用于处理电子系统原子结合成金属后，价电子脱离原子形成公有电子，失去价电子后的原子成为离子实，在空间形成规则的点阵。公有电子可在这种点阵结构中运动，可看作自由电子气体。2.费米分布考虑费米子系统：它含有众多的单粒子态。现考虑其中一个单粒子态，其微观态可用占据数和能量（N,E）进行描述。所以可能的微观态只有两个：EE-N---微观态（N,）：（0，0），（1，）吉布斯因子e：1,e+--巨配分函数＝1e1lnN+平均粒子数=e+11,kTkT()/1()FDkTfe+1上式称为费米分布函数，其意义是：费米系统处于平衡态时，各单粒子态（能量为ε）被占据的概率都小于等于1。13.费米能级()/1()FDkTfe+1f令＝，称为费米能级0,()1fFDff当：T=0费米能级是零温体系电子占据态与非占据态的分界线,当：T0分布如右图所示：费米能以下附近的电子被激发到费米能以上附近的能级费米能以下形成价带空位，费米能以上形成导带电子。有限温度（T0）下费米能级的定义()/11fFDkTfe1,2FDff时1,2FDff时1,2FDff时f的高低()()FDNdNfd3/21/2231()(2)4Vdmd()/1()fFDkTfe+11/20fcd3/223fc2/32/3223322fNNcmV费米能级由自由粒子密度和质量决定2123,32ffffpppnm令称为费米动量：,fffkTT令称为费米温度,fffpvvm令称为费米速率0K:T时电子气体的内能和压强32323043(0)(2)5ffVUmdNh202035fUpnV（）（）0/)(212331)2(4demhVNkT0/)(232331)2(4demhVUkT20,2eVVfURkTCTT室温下，是个很小的量电子气体的定容热容量：金属的定容热容量＝电子的+原子的：30ATTCV4.金属的热容结论：金属的热容主要由声子决定：诺贝尔物理学奖（1938年）恩里科·费米EnricoFermi，1901年9月29日－1954年11月28日），美籍意大利裔物理学家，荣获1938年诺贝尔物理学奖。费米被公认为二十世纪的首席物理大师之一。他首创了β衰变理论，是弱相互作用理论的前导，负责设计建造了世界首座自持续链式裂变核反应堆。他与罗伯特·奥本海默共同被尊称为原子弹之父。以他的名字命名的有费米黄金定则、费米-狄拉克统计、费米子、费米面、费米液体及费米常数等指导的中国博士生有：李政道杨振宁作业1：设某玻色子能级为，(不上交)(1)试求由此粒子构成的Ｎ粒子量子气体的配分函数，及在温度Ｔ时粒子占据第一激发态和第二激发态的粒子