概率论-随机变量的函数及其分布

下回停一、问题的引出二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布第三节随机变量的函数及其分布(2)（两个随机变量的函数的分布）一、问题的引出分别表示一个人的年龄和有一大群人，令YX的分布的分布确定如何通过关系ZYXYXfZ,),,(的函数与知表示该人的血压并且已和体重，YXZZ,变量函数的分布.为了解决类似的问题,下面我们讨论二维随机XY012121312312112101211221220122.)2(,)1(的分布律求YXYX二、离散型随机变量函数的分布例1的分布律设随机变量),(YXXY012121312312112101211221220122解等价于P),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(1232,211221,21121)2,3(122)0,3(122YX321232113YX1012523540,210)1,3(0212213YXP321232113121121123122121122122YXP01252353124121122121122122的分布律分别为所以||,YXYX结论若二维离散型随机变量的联合分布律为,2,1,,},{jipyYxXpijji的分布律为则随机变量函数),(YXfZ}),({}{kkzYXfPzZP2,1),(kpjikyxfzijkjiyxfzijzyxfpjik),(),(”是关于其中“.),(求和的jiyx设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解例2},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0几种特殊形式的随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布的分布YXZ)1(yyyzpzpZd),()(xxzxpd),(独立时，与若YXyypyzpzpYXZd)()()(xxzpxpYXd)()(证xyODyxyxpdd),(xzyyx,px)d(dzuxux,px)d(dRz}),{(zyxyxDzyx}{)(zZPzFZ}{zYXPyxu令}{)(zZPzFZzuxuxpxd),(dxxuxpuzd),(dzuxxuxp]dd),([zzFzpZZd)(d)(xxuxpd),(视为常数积分时z设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正解例5态分布,求Z=X+Y的概率密度.xxpxX,e)(22π21由于yypyY,e)(22π21xxzpxpzpYXZd)()()(由公式.)2,0(分布服从即NZ2zxt得xzpxzxZdee)(22)(22π21xzzxdee2242)(π2142242edeeπ21π21zztt说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则).,(~,).,(~),,(~,,222121222211σσμμNZYXZσμNYσμNXYX且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般仍然服从正态分布.3X+4Y+1也具有正态分布.解的概率密度为由题意知R.d)()()(xxzpxpzpR例6串联联接和阻在一简单电路中，两电21RR它们的概率密度均为相互独立设,,21RR.,0,100,)(5010其他xxpx.21的概率密度求电阻RRR,100,100xzx当,,10,100时即zxzx.d)()()(中被积函数不为零xxzpxpzpRO1020zx10zxzx10xzxxzpxp0,d)()(此时,100)(zzpR1010,2010,d)()(zzxxzpxp其它.0，O1020zx10zxzx10x(1).,0,100,5010)(其它将xxxp.,0,100,50)(10)(其它xzxzxzp式得代入)1(.,0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其它zzzzzzzpR的分布YXZ)2(yyyzpzpZd),()(xzxxpd),(独立时，与当YXyypyzpzpYXZd)()()(xzxpxpYXd)()(独立时，与当YX证的分布YXZ)3(yyyzpyzpZd),(||)(yypyzpyzpYXZd)()(||)(,Rz}),{(zyxyxD}{)(zZPzFZ}{zYXPyxyxpDdd),(①xyo)(zFZzyxzyxDyxyxpdd),(zyxyxpyd),(d0zyxyxpyd),(d0zuyyyupyd),(d0zuyyyupyd),(d0时，当0z}),{(zyxyxDyzx)0(y)0(yyxu令zuyyyupyd),(d0zuyyyupyd),(d00d),(dyyyyupyzzyyyyupdu0d),(zzFzpZZd)(d)(00d),(d),(yyyyzpyyyyzpyyyzpyd),(||②xzy1xy0yoyzxy0yzxy0Dyxyxpdd),(00d),(dzyxyxpyzyxyxpyd),(d0zuyyyupyd),(d0zuyyyupyd),(d0}),{(zyxyxD时，当0z)(zFZyxu令zuyyyupyd),(d0zuyyyupyd),(d00d),(dyyyyupyzzyyyyupu0d),(dzzFzpZZd)(d)(00d),(d),(yyyyzpyyyyzpyyyzpyd),(||,d),(d),()(00yyyzypyyyzypzpZ解由公式例7设X,Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命X,Y相互独立,它们的概率密度分别为.,0,0,e2)(.,0,0,e)(2其他其他xypxxpyx的概率密度函数试求YXZ,)2(22z得所求密度函数)0(时当z)0(时当z,0)(zpZ得.0,0,0,)2(2)(2zzzzpZ.,0,0,0,e2e),(2其他yxyxpyxyyzpyyzZdee2)(20yyzyde2)2(0},,max{)4(YXM极值分布，即相互独立时，有，当YX)()()(zFzFzFYXM①)](1)][(1[1)(zFzFzFYXN②有相互独立且同分布时，，当YX)()(2zFzFM2)](1[1)(zFzFN.},min{的分布YXN证)(}{}{独立与YXzYPzXP}{)(zMPzFM},{zYzXP)()(zFzFYX}{)(zNPzFN}{1zNP},{1zYzXP}{}{1zYPzXP)](1)][(1[1zFzFYX一般地，设nNzFzF)](1[1)(推广:相互独立且同分布时，则当nXXX,,,21)()(zFzFnM有}.{)(1zXPzF其中},,,max{21nXXXM},,,min{21nXXXN解),,,,max(54321XXXXXD设例8对某种电子装置的输出测量了５次，得到的观设它们是相互独立的观察值为54321,,,,XXXXX随机变量，且都服从同一分布.,0,0,e1)(82e2其他zzFz.4},,,,max{54321的概率试求XXXXX,)]([)(5maxzFzF因为}4{1DP.)e1(15e2)4(1maxF5)]4([1F}4{DP所以1.离散型随机变量函数的分布律的联合分布律为若二维离散型随机变量,2,1,,},{jipyYxXPijji内容小结的分布律为则随机变量函数),(YXfZ}),({}{kkzYXfPzZP.,2,1),(kpjikyxfzij2.连续型随机变量函数的分布的分布YXZ)1(的分布YXZ)2(的分布及),min(),max()3(YXNYXM备用题设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一XP105.05.0于是XY1010221221221221解,相互独立与因为YX例3-1分布律,且X的分布律为.),max(的分布律试求：YXZ},{}{},{jijiyYpxXpyYxXp所以},{iYiXP},{iYiXP}0),{max(YXP}0,0{P,212}1),{max(YXP}1,1{}1,0{}0,1{PPP222212121.232的分布律为故),max(YXZZP104341XY1010221221221221}),{max(iYXp,0}1{}1{pYPXP———.21解),(YX)1,1(),0,0()0,1(),1,0(P)1(2pp22)1(pp01例4-1z独立，且与设随机变量YX,01}0{}0{pYPXP.,0,,1为奇数为偶数令YXYXZpZX独立，则与要使}0{}0{}0,0{ZPXPZXP}10{}00{YXZX，，事件}1,0{}0,0{YXPZXP}1{}0{YPXPpp)1()1(2)1()1(ppppp从而01p1)1(2p21p)0,1(),()1,0(),(0YXYXZ则独立与若,ZX设随机变量X与Y相互独立,且其分布密度分别为求随机变量Z=2X+Y的分布密度.),(yxp由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的分布密解)()(ypxpYX例6-1.,0,10,1)(其它xxpX.,0,0,e)(其它yypyY.,0,0,10,e其它yxy度函数为.dde2yxzYXy}{)(zZPzFZ}2{zYXPyxyxpzYXdd),(2xyOzyx2随机变量Z的分布函数为)0,10(yx所以随机变量Z的分布密度为.2,2e)1e(,20,2)e1(,0,0)()(2zzzzFzpzzZZ102202.2,d)e1(,20,d)e1(,0,0)(zxzxzzFzxzzxZ为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度..,0,10,1)(其它xxp解由卷积公式,10,10xzx也即,1,10zxzx例6-2xxzpxpzpYX