运筹学例题及答案

运筹帷幄之中决胜千里之外作业及答案1。用单纯形法解LP问题0,,44222..326max32131321321xxxxxxxxtsxxxz线性规划cj6-2300cBxBbx1x2x3x4x50x422-12100x5410401cj-zj6-23006x111-1/211/200x5301/23-1/21cj-zj01-3-306x1410401-2x26016-12cj-zj00-9-2-2cj6-2300cBxBbx1x2x3x4x5达到最优解，且最优解唯一2。用大M或两阶段法解LP问题0,,02226..22max3213231321321xxxxxxxxxxtsxxxzcj2-12000-M-M-McBxBbx1x2x3x4x5x6x7x8x9-Mx76111-100100-Mx82-2010-10010-Mx9002-100-1001Cj-zj2-M3M-1M+2-M-M-M000-Mx76103/2-101/210-1/2-Mx82-2010-10010-1x2001-1/200-1/2001/2Cj-zj2-M05/2M+3/2-M-M1/2M-1/200-3/2M+1/2cj2-12000-M-M-McBxBbx1x2x3x4x5x6x7x8x9-Mx73400-13/21/21-3/2-1/22x32-201000010-1x21-1100-1/2-1/201/21Cj-zj5+4M00-M3/2M+3/21/2M-1/20-5/2M-3/2-3/2M+1/22x13/4100-1/43/81/81/4-3/8-1/82x37/2001-1/2-1/41/41/21/4-1/4-1x27/4010-1/4-1/8-3/81/81/83/8Cj-zj0005/4-----无界解3，某厂在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各月份需租用仓库面积见表，仓库租借费用随合同期不同而不同，期限越长折扣越大，具体数字见表。租借合同每个月月初都可办理，合同规定具体的租借面积和月数，因此该厂可根据需要，在任何一个月月初办理合同，每次办理可签一份或多份，总目标是总的租借费用最低，请建立数学模型并用软件给出结果。月份1234所需仓库面积（100m2）15102012合同租借期限1个月2个月3个月4个月租借费用2800450060007300解:设一月初签订合同期限为一个月，两个月，三个月，四个月的仓库面积分别为，，，，二月初签订合同期限为一个月，两个月，三个月的仓库面积分别为，三月初签订合同期限为一个月，两个月的仓库面积分别为，四月初签订合同期限为一个月的仓库面积为。则11x12x13x14x232221,,xxx3231,xx41x142313322212413121117300)(6000)(4500)(2800minxxxxxxxxxxz0122010154132231432312322141323222114131214131211ijxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx计算结果如下4，某厂生产I,II,III三种产品，都分别经过A,B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1，B2，B3三种设备可用于完成B工序。已知产品I可在A,B任何一种设备上加工；产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III只能在A2和B2设备上加工。加工单位产品所需的工序时间及其它各项数据见表，试安排最优生成计划，使该厂获利最大。设备产品IIIIII设备有效台时设备加工费（元/h）A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费（元/件）售价（元/件）0.250.350.501.252.002.80解：设第Ⅰ种产品中，分别在上加工的数量依次为，第Ⅱ种产品中分别在A1,B1和A2,B1上加工的数量为生产Ⅲ种产品数量为。3,2,1),,(),,(21jBABAjj654321,,;,,xxxxxx87,xx9x04000)(7700011)(44000)(8)(610000129)(7600010)(5)(705.0]11)(4[11.0)](8)(6[06.0]129)(7[03.0]10)(5[05.0)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max639528741986547321639528741986547321987654321jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz对偶理论1.已知线性规划问题：0,,,966283..42max4321321432214214321xxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxz要求：a)写出对偶问题，b)已知原问题最有解X*=(2,2,4,0),用互补松弛性求出对偶问题的最优解。解：对偶问题：0,,,114322..9668min4321314343214214321yyyyyyyyyyyyyyytsyyyyw将原问题的最优解带入约束，发现第4个约束为严格不等式，所以，得y4*=0又因为，原问题最优解的前三个分量都大于0，所以，有如下三个等式成立。14322332121yyyyyy解方程组得对偶问题的最优解为Y*=(4/5,3/5,1,0)2。已知线性规划问题0,218262..23max21221212121xxxxxxxxxtsxxz及最终单纯形表cj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x24/3012/3-1/3003x110/310-1/32/3000x5300-11100x62/300-2/31/301cj－zj00-1/3-4/300表1分析下列各种条件单独变化时，最优解将如何变化。（a）第1，2个约束条件的后端项分别由6变7，8变4；（b）目标函数变为;（c）增加一个变量，系数为（d）问题中变量的系数变为（e）增加一个新的约束2152maxxxz3xTpc)2,3,2,1(,4332xT)2,1,2,3,4(41x解：a）0041b25320041103/13/20111003/23/1003/13/2b将其加到表（1）的最终单纯形表的基变量b这一列数字上得表（2）（表2）表（2）中原问题为非可行解，故用对偶单纯形法继续计算得表（3）cj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x210/3012/3-1/3003x11/310-1/32/3000x5-200-11100x6-4/300-2/31/301cj－zj00-1/3-4/300（表3）cj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x220101/32/303x111001/3-1/300x32001-1-100x60000-1/3-2/31cj－zj000-5/3-1/30即新解为Tx)0,0,0,2,2,1(第25页b)将cj的改变反应到最终单纯形表上,得表（4）cj250000cBxBbx1x2x3x4x5x65x24/3012/3-1/3002x110/310-1/32/3000x5300-11100x62/300-2/31/301cj－zj00-8/31/300继续迭代,得表（5）cj250000cBxBbx1x2x3x4x5x65x220100012x1210100-20x5100101-30x4200-2103cj－zj00-200-1表5即新解为Tx)2,2(c）将其加到最终单纯形表上得表（6）012321003/43/14724102321103/13/20111003/23/1003/13/271/7pBpcj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x24/3012/3-1/3003x110/310-1/32/3000x5300-11100x62/300-2/31/301cj－zj00-1/3-4/3004x701421继续迭代,得表（7）表6cj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x24/3012/3-1/3003x131001/20-1/20x55/3001/31/21-24x71/300-1/31/601/2cj－zj000-3/20-1/24x700010即新解为Tx)3/1,3/4,3(表7d）将其加到最终单纯形表上得表（8）03/12123003/43/1423/203/13/42123103/13/20111003/23/1003/13/221/2pBpcj320000cBxBbx1x2x3x4x5x62x24/3012/3-1/3003x110/310-1/32/3000x5300-11100x62/300-2/31/301cj－zj00-1/3-4/3004X’24/31/302/31/3表8因x2已变化为x/2，故用单纯形法算法将x/2替换出基变量中的x2，并在下一个表中不再保留x2，得表（9）cj320000cBxBbx1X’2x3x4x5x64X’21011/2-1/4003x1310-1/23/4000x5300-11100x6000-11/201cj－zj00-1/2-5/400表9此时已经达到最优，新解为Tx)1,3(e)此时将原来的最优解带入约束，发现满足，所以最优解不变。运输问题1，试求下表给出的产销不平衡问题的最优解。B1B2B3B4产量A137645A224322A343856销量3322产地销地解：用最小元素法求得初始方案如下B1B2B3B4B5A123A220A3132产地销地用位势法求检验数知0135找到闭回路，调整得B1B2B3B4B5A132A220A3321又用位势法求检验数知0114找到闭回路，调整得B1B2B3B4B5A1320A220A333又用位势法求检验数知所有的检验数都非负，达到最优z=32。2，某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉。各面粉厂的产量、面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价见下表。假定在第1，2，3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元，16元，11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）123面粉厂产量A310220C411830B811420食品厂需要量152520食品厂面粉厂解：从题意很容易知道，总效益最大实际上是食品利润减去单位运价之后再求的总效益。再因为面粉的总产量为70，比食品厂的总需求量60多了10个单位，可以认为，多的10个单位最后还是会分配给1－3个食品厂，所以就需要增加一个虚拟的食品厂4。设xij－第i个面粉厂运到第j个食品厂的运量，i=1,2,3;j=1,2,3,4得下表：1234面粉厂产量A969920C853830B457720食品厂需要量15252010为使用求解运输问题的表上作业法，用上表中的最大数减去其他各数，得下表1234面粉厂产量A030020C146130B542220食品厂需要量15252010使用