概率论第三章多维随机变量及其分布课件

第三章多维随机变量及其分布第1页概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第2页概率论与数理统计2例：向某目标射击，弹着点横坐标记为X，纵坐标记为Y，必需考察(X，Y)这个整体引入：例抽查某地区的儿童，H，W分别表示抽到的儿童的身高和体重，必需考察(H,W)这个整体.第三章多维随机变量及其分布第3页概率论与数理统计第一节二维随机变量一般,设E是一个随机试验,它的样本空间是Ω一、定义3.1:随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y),称为二维随机向量或二维随机变量.Ω={ω},设X=X(ω)和Y=Y(ω)是定义在Ω上的注二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X与Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此需将(X,Y)作为一个整体进行研究.第三章多维随机变量及其分布第4页概率论与数理统计设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,()=,FxyPXxYy二元函数二、定义3.2:=,PXxYy称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数.xOy(x,y)()(),,Fxyxy在处的函数值(),XY即落在阴影区的概率第三章多维随机变量及其分布第5页概率论与数理统计1212{,}PxXxyYy如何利用分布函数计算概率1212{,}PxXxyYy22(,)Fxy12(,)Fxy21(,)Fxy11(,)Fxyxy2y1y1xO2x第三章多维随机变量及其分布第6页概率论与数理统计6三、联合分布函数的性质(,).Fxyxy①是和的不减函数(,)(,)(,)(,)0FxyFyFxF②0≤≤1,(,)1F(,).Fxyxy③关于右连续，关于右连续1212,,xxyy④对有22211211(,)(,)(,)(,)FxyFxyFxyFxy≥0注：(,),(,)1FxFy不一定等于第三章多维随机变量及其分布第7页概率论与数理统计第二节二维离散型随机变量第三章多维随机变量及其分布第8页概率论与数理统计如果二维随机变量(X，Y)的所有可能取值只有限组或可列无限组，则称(X，Y)为二维离散型随机变量。如何反映(X，Y)的取值规律呢？联想一维离散型随机变量的分布律。一、定义研究问题：第三章多维随机变量及其分布第9页概率论与数理统计9二、联合分布律（分布列）设二维随机变量(X，Y)所有可能取值为(,)ijxy以及取每组值的概率为{,},,1,2,ijijPXxYypij称上式或表格1、定义第三章多维随机变量及其分布第10页概率论与数理统计10XY12ixxx12jyyy11p12p1jp21p22p2jp1ip2ipijp为二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律(分布列)第三章多维随机变量及其分布第11页概率论与数理统计112、联合分布律的性质,111ijijijpp①非负性：0②规范性：第三章多维随机变量及其分布第12页概率论与数理统计).2,3(),(.~1,4,3,2,1YXPYXXYX的分布律及求试中等可能地取一整数值在令随机变量值四个整数中等可能地取在设随机变量解：:},{的取值情况是jYiX,4,3,2,1i,的正整数取不大于ij且由乘法公式得},{jYiXP}{}{iXPiXjYP,411i,4,3,2,1i.ij的分布律为于是),(YX例1：第三章多维随机变量及其分布第13页概率论与数理统计13123412341/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16XY(3,2)PXY111112048812123第三章多维随机变量及其分布第14页概率论与数理统计练习:袋中有2个黑球3个白球,从袋中随机取两次,每次取一个球,取后不放回.令11,,00XY第一次取到黑球第二次取到黑球第一次取到白球第二次取到白球求(X,Y)的联合分布律.第三章多维随机变量及其分布第15页概率论与数理统计解：(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)326(0,0)5420PXYXY0106/206/2016/202/20326(0,1)5420PXY236(1,0)5420PXY212(1,1)5420PXY则(X,Y)的联合分布律为第三章多维随机变量及其分布第16页概率论与数理统计三、边缘分布律定义:设(,)XY为二维离散型随机变量,X和Y的分布律.(),1,2,iipPXxi和.(),1,2,jjpPYyj依次称为(,)XY分别关于X和Y的边缘分布律.说明：在联合分布律表中，是联合分布的行和，是联合分布的列和.ipjp.第三章多维随机变量及其分布第17页概率论与数理统计17123412341/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16XY例3：求例2中二维随机变量(X，Y)关于X与Y的边缘分布律第三章多维随机变量及其分布第18页概率论与数理统计解：(X，Y)关于X边缘分布律12341/41/41/41/4X.iP(X，Y)关于Y边缘分布律123425/4813/487/481/16Y.jP第三章多维随机变量及其分布第19页概率论与数理统计19练习设(X，Y)的可能取值为(0，0),(-1，1),(-1，1/3),(2，0),(2，1/3),相应的概率1/6,1/3,1/12,1/4,1/6.(1)列表表示其联合分布律(2)求关于X，Y的边缘分布律第三章多维随机变量及其分布第20页概率论与数理统计2001/31-10201/121/31/6001/41/60XY解:(1)二维随机变量(X，Y)联合分布律第三章多维随机变量及其分布第21页概率论与数理统计(2)(X，Y)关于X边缘分布律-1025/121/65/12X.iP(X，Y)关于Y边缘分布律01/315/123/121/3Y.jP第三章多维随机变量及其分布第22页概率论与数理统计作业：P546第三章多维随机变量及其分布第23页概率论与数理统计第三节二维连续性随机变量第三章多维随机变量及其分布第24页概率论与数理统计.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),,(),(的联合概率密度和机变量或称为随的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx1.定义一、二维连续型随机变量第三章多维随机变量及其分布第25页概率论与数理统计.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质内的概率为落在点平面上的一个区域是设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若第三章多维随机变量及其分布第26页概率论与数理统计例1:设二维随机变量(,)XY的概率密度函数,01(,)0,kxxyfxy其他求:(1)常数k;(2)(1)PXY.解(1)由(,)1fxydxdy得1101()6xkkxdydx所以k=6第三章多维随机变量及其分布第27页概率论与数理统计例1:设二维随机变量(,)XY的概率密度函数,01(,)0,kxxyfxy其他求:(1)常数k;(2)(1)PXY.解(2)112011(1)664xxxyPXYxdxdyxdxdy第三章多维随机变量及其分布第28页概率论与数理统计练习:设二维随机变量(,)XY的概率密度2211,1(,)0xyxyfxy其它求(,)XY的联合分布函数.解由(,)(,)xyFxyfuvdudv当1x或1y时,(,)0fxy则(,)0Fxy当x1,y1时,2211111(,)(,)(1)(1)xyxyFxyfuvdudvdudvuvxy所以(X,Y)的联合分布函数11(1)(1)1,1(,)0xyxyFxy其它第三章多维随机变量及其分布第29页概率论与数理统计1、均匀分布定义设G是平面上的有界区域,其面积为A(G),若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布..,0,),(,)(1),(其他GyxGAyxf3、常用的二维连续型随机变量第三章多维随机变量及其分布第30页概率论与数理统计例3设二维随机变量(X,Y)在服从单位圆x2+y2≤1上的均匀分布，试求(X,Y)的密度函数。解.,0,1,1),(22其他yxyxf第三章多维随机变量及其分布第31页概率论与数理统计2、二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2222212121212)())((2)()1(21221e1π21),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx记为正态分布的二维服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX第三章多维随机变量及其分布第32页概率论与数理统计二维正态分布的图形第三章多维随机变量及其分布第33页概率论与数理统计二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.下面，我们就来探求这个问题.二、边缘分布问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？第三章多维随机变量及其分布第34页概率论与数理统计二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,Fxy而和都是随机变量,XY也有各自的分布函数,分别记为,,XYFxFy变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机1、边缘分布函数第三章多维随机变量及其分布第35页概率论与数理统计XFxPXx,YFyPYyPXYy,PXxY,lim(,)yFxFxy边缘分布函数完全由联合分布函数所决定即()(,)()(,)XYFxFxFyFy,lim(,)xFyFxy第三章多维随机变量及其分布第36页概率论与数理统计定义：设(X,Y)二维连续型随机变量，X和Y的密度函数依次称为(X,Y)分别关于2、边缘密度函数()()XYfxfy和X和Y的边缘密度函数。第三章多维随机变量及其分布第37页概率论与数理统计边缘密度函数完全由联合密度函数所决定,,XXfxFxfxvdvfxydy,,YYfyFyfuydufxydx第三章多维随机变量及其分布第38页概率论与数理统计例5：设二维随机变量(X,Y)的概率密度0(,)0yexyfxy其它分别求X和Y的密度函数()Xfx和()Yfy.解X的密度函数()Xfx为00()(,),0000yxxXedyxexfxfxydyxx第三章多维随机变量及其分布第39页概率论与数理统计例5：设二维随机变量(X,Y)的概率密度0(,)0yexyfxy其它分别求X和Y的密度函数()Xfx和()Yfy.解：Y的密度函数()Yfy为000()(,).0000yyyYedxyyeyfyfxydxyy第三章多维随机变量及其分布第40页概率论与数理统计联合分布可以决定边缘分布；一般情况下，边缘分布不能决定联合分