第六节数列的综合问题案例

高考总复习数学（理科）第五章数列第六节数列的综合问题考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．考纲要求考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1等差、等比数列知识的综合考点探究【例1】设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．自主解答：考点探究(1)解析：设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明：方法一对任意k∈N*，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．考点探究方法二对任意k∈N*，2Sk＝2a1（1－qk）1－q，Sk＋2＋Sk＋1＝a1（1－qk＋2）1－q＋a1（1－qk＋1）1－q＝a1（2－qk＋2－qk＋1）1－q，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝2a1（1－qk）1－q－a1（2－qk＋2－qk＋1）1－q＝a11－q[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝a1qk1－q(q2＋q－2)＝0.因此，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．考点探究点评：求解等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，根据已知条件列出正确的方程或者方程组，求出数列的基本量，这样过程往往用到转化与化归的思想方法．考点探究变式探究1．已知－9，a1，a2，a3，－1五个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则a1－a3b2等于(D)A．±43B．±23C．－43D.43解析：设等差数列的公差为d，则－1－(－9)＝4d，得d＝2，而a1－a3＝－2d＝－4，b22＝(－9)×(－1)＝9，且b2＜0，所以b2＝－3.所以a1－a3b2＝43.故选D.考点2数列与函数知识的综合考点探究【例2】已知函数f(x)＝x2＋2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2kn·an，求数列{bn}的前n项和Tn.自主解答：考点探究解析：(1)∵点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，∴Sn＝n2＋2n.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，当n＝1时，也满足an＝2n＋1.故an＝2n＋1(n∈N*)．考点探究(2)由f(x)＝x2＋2x求导可得，f′(x)＝2x＋2，∵过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，∴kn＝2n＋2.又∵bn＝2kn·an＝22n＋2·(2n＋1)＝4(2n＋1)·4n，∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4(2n＋1)·4n，①由①×4可得：4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4(2n＋1)·4n＋1，②考点探究①－②可得：－3Tn＝4·[12＋2·(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)·4n＋1]＝4·12＋2·42（1－4n－1）1－4－（2n＋1）·4n＋1.∴Tn＝6n＋19·4n＋2－169.解析：(1)∵点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，∴Sn＝n2＋2n.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，当n＝1时，也满足an＝2n＋1.考点探究故an＝2n＋1(n∈N*)．(2)由f(x)＝x2＋2x求导可得，f′(x)＝2x＋2，∵过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，∴kn＝2n＋2.又∵bn＝2kn·an＝22n＋2·(2n＋1)＝4(2n＋1)·4n，∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4(2n＋1)·4n，①由①×4可得：4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4(2n＋1)·4n＋1，②①－②可得：－3Tn＝4·[12＋2·(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)·4n＋1]＝4·12＋2·42（1－4n－1）1－4－（2n＋1）·4n＋1.考点探究∴Tn＝6n＋19·4n＋2－169.点评：数列与函数的综合问题，一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题．考点探究变式探究2．(2013·杭州名校模考)如图所示，设曲线y＝1x上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形：△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y＝1x上．设An的坐标为(an，0)，A0为原点．(1)求a1，并求出an和an－1(n∈N*)之间的关系式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝2an－1＋an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.考点探究解析：(1)由a1＝2×2a1⇒a1＝2，由an－an－1＝2×2an＋an－1⇒a2n－a2n－1＝4.(2)由(1)知数列{a2n}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a2n＝4n，an＝2n(n∈N*)．(3)bn＝2an－1＋an＝1n－1＋n＝n－n－1，Sn＝(1－0)＋(2－1)＋…＋(n－n－1)＝n.考点3数列与不等式的综合考点探究【例3】已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，bn＝910(n＋2)(an－1)．(1)求证：数列{an－1}是等比数列．(2)当n取何值时，bn取最大值？并求出bn的最大值．考点探究(1)证明：∵(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)，∴(an＋1－an)·10(an－1)＋(an－1)2＝0，即(an－1)(10an＋1－9an－1)＝0.若an≠1，则有10an＋1－9an－1＝0，即an＋1－1＝910(an－1)，∴an＋1≠1，又∵a1＝2，∴对任何n∈N*，an－1≠0，∴an＋1－1an－1＝910，∴{an－1}是以a1－1＝1为首项，910为公比的等比数列．考点探究(2)解析：由(1)可知an－1＝910n－1(n∈N*)，∴bn＝910(n＋2)(an－1)＝(n＋2)910n，bn＋1bn＝（n＋3）910n＋1（n＋2）910n＝9101＋1n＋2.当n＝7时，b8b7＝1，b8＝b7；当n＜7时，bn＋1bn＞1，bn＋1＞bn；当n＞7时，bn＋1bn＜1，bn＋1＜bn，考点探究∴当n＝7或n＝8时，bn取最大值，最大值为b7＝b8＝98107.点评：数列与不等式的综合问题有两类：(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．考点探究变式探究3．已知各项都是正数的等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)，使得aman＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则1m＋4n的最小值是(A)A.32B.43C.23D.34解析：设等比数列的公比为q(q＞0)，则a5q2＝a5q＋2a5，解得q＝2，∴aman＝a21·2m＋n－2＝42a21，得m＋n＝6.∴1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝165＋nm＋4mn≥16(5＋2nm·4mn)＝32，当且仅当m＝2，n＝4时等号成立．故选A.考点探究考点4数列与算法的综合【例4】根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，xn，…，x2012；y1，y2，…，yn，…，y2012.(1)求数列{xn}的通项公式xn；(2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想并求出数列{yn}的通项公式yn；(3)求Zn＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn(x∈N*，n≤2012)．考点探究解析：(1)由框图知，数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝xn＋2，∴xn＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*，n≤2012)．(2)由框图知，数列{yn}中，yn＋1＝3yn＋2，∴y1＝2，y2＝8，y3＝26，y4＝80.由yn＋1＝3yn＋2，得yn＋1＋1＝3(yn＋1)，∴yn＋1＋1yn＋1＝3，y1＋1＝3.∴数列{yn＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴yn＋1＝3·3n－1＝3n.∴yn＝3n－1(n∈N*，n≤2012)．考点探究(3)Zn＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2n－1)(3n－1)＝1×3＋3×32＋…＋（2n－1)·3n－[1＋3＋…＋(2n－1)]．记Sn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3n，①则3Sn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)×3n＋1，②①－②，得－2Sn＝3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)×3n＋1＝2(3＋32＋…＋3n)－3－(2n－1)·3n＋1＝2×3（1－3n）1－3－3－(2n－1)·3n＋1＝3n＋1－6－(2n－1)·3n＋1＝2(1－n)·3n＋1－6，∴Sn＝(n－1)·3n＋1＋3.又1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，∴Zn＝(n－1)·3n＋1＋3－n2(n∈N*，n≤2012)．考点探究点评：解答数列与算法的综合问题的一般步骤：(1)读懂程序框图，把算法语言转化为数学语言；(2)确定数列的类型，选择对应的定义、公式求解问题．考点探究变式探究4．执行如图所示的算法框图，若p＝4，则输出的S＝1516．考点探究解析：程序执行过程为：n＝1，S＝12；n＝2，S＝12＋14；n＝3，S＝12＋14＋18；n＝4，S＝12＋14＋18＋116＝1516.程序结束，输出S＝1516.考点探究考点5数列的实际应用【例5】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2014年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2018年年底分红后的资金；(2)求该企业到哪一年年底分红后的资金超过32500万元．考点探究解析：设an为(2008＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，即数列{an－500}是首项为a1－500＝1000，公比为2的等比数列．∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n－1＋500.(1)a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2018年年底分红后的资金为8500万元．考点探究(2)由an32500，即2n－132，得n6，∴该企业2021年年底分红后的资金超过32500万元．点评：解答数列应用题的步骤：(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．考点探究变式探究5．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天．(1)工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An，Bn