实际问题与二次函数(利润问题)

26.3实际问题与二次函数1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；2.会应用二次函数的性质解决实际问题.某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元.十月份售出m台，则每台电脑的利润为，十月份的利润为.十一月份每台售价降低100元，结果比十月份多售出10台，则销售每台电脑的利润为，十一月份的利润为.600元600m元500元500(m+10)元每件产品的利润=售价-进价销售总利润=每件产品的利润×销售数量销售问题常用数量关系：问题1某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？若涨价x元，每件商品的利润为元每周的销售量为件，一周的利润为元，获得6000元利润可列方程.（60+x-40）(60+x-40)(300-10x)(60+x-40)(300-10x)=6000(300-10x)问题1某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？设销售单价x元，每件商品的利润为元，每周的销售量为件，一周的利润为元，获得6000元利润可列方程.(x-40)(x-40)[300-10(x-60)](x-40)[300-10(x-60)]=6000[300-10(x-60)]问题2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少元时，商场能获得最大利润？解：设涨价x元获得利润y元，根据题意得：y=(60+x-40)(300-10x)(0≤X≤30)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）用顶点坐标公式解即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.问题2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元.该商品定价为多少元时，商场能获得最大利润？解：设定价x元获得利润y元，根据题意得：y=(x-40))[300-10(x-60)](60≤X≤90)=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250当x=65时，y的最大值是6250，即：当定价为65元时，可获得最大利润为6250元.例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题:（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x-600)=-10［(x-5)2-25-600］=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30)即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?即：定价为60-2.5=57.5时利润最大为6125元.综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.y=(60-x-40))(300+20x)(0≤X≤20)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125当x=2.5时，y的最大值是6125.（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。例题变式进价为每件40元商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；若试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？解：设商品售价为x元，获得利润为y元，根据题意得：y=(x-40)[300-10(x-60)]=(x-40)(900-10x)=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250∵40(1＋40%)≤x≤40(1＋60%)即56≤x≤64∴由函数增减性可知当x=64时y最大,最大值为6240元拓展延伸某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市场调查，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件.(1)写出y与x的函数关系式(写出x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，求出销售利润为S的最大值；(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（2）S=(x－40)(1000-10x)=－10x2＋1400x-40000=－10(x－70)2+9000解：（1）y=500－10(x－50)=1000-10x(50≤x≤100)∴当x=70时，S有最大值为9000即：单价为70元时获得最大利润为9000元.(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：（3）－10x2＋1400x-40000=8000解得：x1=60,x2=80当x=60时，成本=40×（1000－10×60）=16000＞10000不符要求,舍去.当x=80时，成本=40×（1000－10×80）=8000＜10000符合要求．所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．5.12225或5.（2010•安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg；（2）由题意，得2xy20(95010x)(5)(95010x)52x40x14250F（3）∵-2＜0，y=-2x2+40x+14250=-2（x-10）2+14450，又∵1≤x≤20且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.2.利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.