计算机控制技术-1状态变量和模型

2020/2/2511、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立3、传递函数矩阵4、状态空间表达式的线性变换第二章连续时间控制系统状态空间描述2020/2/252第一节动态系统的状态变量和状态变量模型2020/2/253现代控制理论以n个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。称为状态方程.应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。2020/2/254系统描述中常用的基本概念系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间表达式输出方程状态方程2020/2/255动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。[术语]：状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在tto时的全部输入信息。状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。2020/2/256状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻，状态向量是状态空间的一个点。)(),...,(),(21txtxtxnt)(tX状态轨迹：以为起点，随着时间的推移，在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX)()(0ttXX状态向量：把这几个状态变量看成是向量的分量，则称为状态向量。记作：)(),...,(),(21txtxtxn)(tX)(tX)()(1txtxnX(t)或：)]()...,(),([)(21txtxtxtnTX2020/2/257状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：niuuuxxxfxrnii,...,2,1),,,,;,,,(2121其中n是状态变量个数，r是输入变量个数；是线性或非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111通式为：2020/2/258,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB作用表征输入对每个变量的输入矩阵维,rn将通式化为矩阵形式有：uBxAxrnnn状态向量维1,21nTnxxxx输入向量维1,21ruuuuTr其中：2020/2/259输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：mjuuuxxxgyrnjj,...,2,1),,,,;,,,(2121其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量个数，是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111通式为：2020/2/2510,212222111211mnmmnncccccccccC量的关系表征输出和每个状态变输出矩阵维nm,212222111211mrmmrrdddddddddD0,＝通常传递关系表征输入对输出的直接直接转移矩阵又称为前馈矩阵维Drm将通式化为矩阵形式有：其中：uDxCyrmnm输出向量维1,21mTmyyyy2020/2/2511(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。(1)为描述系统方便，经常用代表一个动力学系统。),,,(DCBA[说明]：动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：DuCxyBuAxx其中：A、B、C、D矩阵含义同上。2020/2/2512(3)定常系统：A,B,C,D各元素与时间无关；时变系统：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；定常系统；时变系统(5)系统输出与状态的区别：系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。),,,(DCBA))(),(),(),((tDtCtBtA(4)非线性系统状态空间表达式：和是x与u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似（关于线性化方法，自己看教材P13）ifig2020/2/2513常用符号：[系统动态方程的模拟结构图]：模拟结构图：BCADUXXYDUCXYBUAXXik积分器比例器加法器[小结]：注：积分器个数与状态变量个数一致。2020/2/2514第二节状态空间表达式的建立1、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）4、由结构图建立动态方程2020/2/2515[状态变量的选取]：建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）一、从系统物理机理建立动态方程2020/2/2516状态空间分析法举例例1求图示机械系统的状态空间表达式外力位移Ku(t)my(t)b)(tuymybky牛顿力学yx1yx2令---弹性系数阻尼系数2020/2/251721xx)(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy动态方程如下2020/2/2518状态空间表达式为：21xxmbmk1021xxum102101xxy例2求图示RLC回路的状态空间表达式2020/2/2519电路如图1所示。请建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1图1L1[解]：1)选择状态变量两个储能元件L1和L2，根据P8表，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。2020/2/25202）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi右回路左回路整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi2020/2/25213）状态空间表达式为：212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR2020/2/2522[例]试列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的动态方程。21,MM21,yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf[解]：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,,,vyxvyxyxyx11yk11yM11yB)(122yyB22yM)(122yykf1M2M质量块受力图如下：2020/2/2523则有：)()(122122111111yyByykykyByM及：fyykyyByM)()(12212222将所选的状态变量2241132211,,,vyxvyxyxyx代入上式并整理出状态方程得：2211xyxy输出方程：fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：2020/2/2524写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX222221212121121211000010000100432100100001xxxxy2020/2/2525二、由微分方程写动态方程——可以转换为传递函数形式线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：解决问题:选取适当的状态变量,并由定出相应的系数矩阵A、B、C、D.),,1,0(),1(njbniajiDuCxyBuAxx两类问题：1、微分方程中不包含输入函数的导数项2、微分方程中包含输入函数的导数项2020/2/2526微分方程形式:1、微分方程中不包含输入函数的导数项buyayayaynnn01)1(1)(2.）将上两边对t求导，化为状态变量的一阶微分方程组.nxxx,,,211.）选择状态变量.若给定初始条件则系统行为被完全确定故选择为系统的一组状态变量——输出及其各阶导数)1(,,,,nyyyy)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的输入及)1(21nnyxyxyx令:2020/2/2527ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(132213.）化为向量矩阵形式：状态方程为:输出方程为:ubxxxaaaxxxnnn00100102111021xy001注意：第一能观标准型，见后。2020/2/25285.）说明：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵。（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）4.）画模拟结构图：b0a2x1uy1xnxnx1nx1a1na2na2020/2/2529[例]设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342[解]：若选，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx321,,243100010A001C500B532x1uy1x3x423x模拟结构图2020/2/25302、微分方程中包含输入函数的导数项（两种实现方法）微分方程形式：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(022110111......)()(asasasbsbsbsbs