管理数量方法与分析 第二章 概率分布二

管理数量方法与分析第二章概率及其概率分布第二章概率及其概率分布2.1随机事件与概率2.2随机变量及其分布2.3随机变量的数字特征与独立性2.4大数定律与中心极限定理2.3随机变量的数字特征与独立性2.3.1随机变量的数字特征2.3.2二维随机变量与随机变量的独立性2.3.1随机变量的数字特征1.数学期望（均值）随机变量的数学期望是随机变量取值以概率为权数的加权平均，是随机变量的分布中心。简称期望。(1)离散型随机变量是数学期望设离散型随机变量X的分布律为：,}{kkpxXP1)(ikkpxXE若级数绝对收敛,则称此级数的和为随1ikkpx既有机变量X的数学期望。记作:E(X)例2.3.1书P63例题2.12设有两种投资方案，它们获取的利润如表所示。利润（万元）100150200概率甲方案0.20.70.1乙方案0.280.60.12试比较这两种方案哪种比较好？解：设X表示甲方案所获取的利润，Y表示乙方案所获取的利润，则它们的分布律分别如表所示。XY1001502000.20.70.1YP1001502000.280.60.12要比较甲、乙投资方案的优势，也就是要比较两种方案谁获得的平均利润高，于是有：E（X）==100×0.2+150×0.7+200×0.1=145（万元）E（X）==100×0.28+150×0.6+200×0.12=142（万元）计算结果表明，甲方案略好于乙方案。(2)连续型随机变量是数学期望设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分既有记作:E(X).绝对收敛，则称此积分值为X的数学期望.dxxxf)(dxxxfEX)(说明X的数学期望刻画了X变化的平均值.例2.3.2设解求：E(X),其他bxaabxfX01~21abdxabxdxxxfEXba例2.3.3书P63例题2.13；设市场对某种商品的需求量X（单位：吨），它的分布密度为：f（x)=0,2000≤x＜4000，其他若出售这种商品1吨，可获利3万元；若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，应组织多少吨货源才能使收益的数学期望最大？解：设m（吨）为组织货源，Y（万元）为收益，则有：Y=3m，x≥m3x-（m-x），x＜m而E（Y）===令即故应组织3500吨货源才能使收益的数字期望达到最大。(3)数学期望的性质a.Ec=c,c是常数.若a≤X≤b,则a≤EX≤b.b.E(cX)=cE(X),c是常数.c.E(X±Y)=EX±EY.d.若X,Y相互独立,则E(XY)=EX·EY.推论E(aX+bY)=aEX+bEY.(1)定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用E|X-EX|表示,但不方便;所以通常用E(X-EX)2来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度DX设X是随机变量,称(X-EX)为随机变量X的离差.而随机变量X的离差的数学期望为0,即有E(X-EX)=0定义2)()(EXXEXVarXD设X是随机变量,若E(X-EX)2存在,则称之为随机变量X的方差.记作D(X),或Var(X).即：而称为均方差,根方差或标准差记为σ(X)2.方差12)(iiipEXxdxxfEXxDX)()(22)(EXXEDX离散型连续型说明方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。D(X)越小，表明X的取值越集中在E(X)附近。因E(X)是一常数,若用c表示,则D(X)实际上是X的函数,Y=X-c,于是D(X)=E(Y).22EXEXDX方差另一计算公式例2.3.4设解求：E(X),其他bxaabxfX01~21abdxabxdxxxfEXba222231)(aabbdxxfxXE12222abXEXEXD记住结论例2.3.5书P65例题2.14；例题2.15；【例2.15】设随机变量X具有概率密度F（x）=1+x，-1≤x＜01-x,0≤x＜10,其他求D（X）解：0110()(1)(1)0EXxfxdxxxdxxxdx012222101()()(1)(1)6EXxfxdxxxdxxxdx（2）方差的性质a.DX0Dc=0,c是常数.b.D(cX)=c2D(X)c是常数.c.若X,Y相互独立,则D(aX+bY)=a2DX+b2DY.d.DX=0↔P{X=c}=1,c=EX.3.几种常见分布的数学期望及方差(1)两点分布pppXk11022)(EXEXDX,pEXpqpp2若随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p)(2)二项分布(3)泊松分布设X服从参数为的泊松分布，则E(X)=λ,D(X)=λ.(4)均匀分布设X服从参数为a,b的均匀分布,即X~U(a,b),.,0,),/(1)(其它bxaabxf)(XEbadxabx12ba)(XD22)2(1badxabxba12)(2abdxxxf)(22)(EXEX(5)指数分布设X~E(λ),则X的概率密度函数为：.0,00,)(xexf0dxexx221baxdxex21dxxxf)(22)(EXEX1)(XE)(XD(6)正态分布xexfx,21)(222)(2)(,)(XDXE则设X服从参数为μ,σ2的正态分布,即X~N(μ,σ2),设X~N(0,1),则E(X)=0,D(X)=1.离散型分布期望方差X~B(1,p)pp(1-p)X~B(n,p)npnp(1-p)X~π(λ)λλ连续型X~U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12X~E(λ)1/λ1/λ2X~N(μ,σ2)μσ2常见分布的期望与方差2.3.2二维随机变量与随机变量的独立性1.二维随机变量及其概率分布(1)二维随机变量的定义设E是一个随机试验,样本空间为Ω={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在Ω上的两个随机变量.称由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随机向量，或二维随机变量.一般用(X,Y)表示.数学期望简称期望，又称均值.ΩeX(e)Y(e)例子(1)考察某地区15岁少年的身体状况,令:X:该地区15岁少年的身高;Y:该地区15岁少年的体重;则(X,Y)就是一个二维随机变量.(2)考察某地区气候状况,令:X:该地区温度;Y:该地区湿度;则(X,Y)就是一个二维随机变量.说明二维随机变量(X,Y)在几何上可看作平面上的随机点。(1)二维随机变量也称二维随机向量(2)应将二维随机变量(X,Y)=(X(e),Y(e))e∈S看作一个整体,X和Y之间是有联系的.(3)事件{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x}和事件{Y≤y}的积.说明根据二维随机变量(X,Y)的取值情况,仍可分为离散型与非离散型---连续型随机变量.2.二维离散型随机变量1,1011ijijijpp此时，定义若二维随机变量(X,Y)的取值是有限个或可列个无穷数对,则(X,Y)为二维离散型随机变量.设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能取值为(xi,yj)(i=1,2,…;j=1,2,…),事件{X=xi,Y=yj}的概率P{X=xi,Y=yj}=pij则称pij=P{X=xi,Y=yj}(i=1,2,…;j=1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律.也称X与Y的联合分布律.YX1y2y…jy…1x11p12p…jp1…2x21p22p…jp2…ix1ip2ip…ijp…X与Y的联合分布律可用表格形式表示边缘分布也称为边沿分布或边际分布．边缘分布称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)分布为二元随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布)(jipp设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{Xi=xi,Yj=yj}=pij11)),2,1((),2,1(jiijijjpip则称二维随机变量(X,Y)X(Y)的边缘分布律.记为:既有:11)),2,1((),2,1(jiijjijijppippYX1y2y…jy…ip1x11p12p…jp1…1p2x21p22p…jp2…2pix1ip2ip…ijp…ipjp1p2p…jp…X与Y的边缘分布律可用表格形式表示3.二维连续型随机变量定义与二维离散随机变量(X,Y)的讨论类似.对于二维随机变量(X,Y)分布函数F(x,y)，yxdudvvufyxF),(),(则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度函数。如果存在非负函数f(x,y)，使得对于任意的x，y有：概率密度的性质：;0),(10yxf;1),(),(20Fdxdyyxf连续，则有在点若),(),(30yxyxf40设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(}),{(这个公式非常重要！).,(),(2yxfyxyxF在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积.边缘分布称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)分布为二元随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布若二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)则随机变量X与Y的边缘密度函数为fX(x),fY(y).dyyxfxfX，dxyxfyfY，仿照一维随机变量的期望与方差的计算，可以计算二维随机变量的期望与方差.定义：yFxFyxFYX，设(X,Y)是二维随机变量,其联合分布函数为F(X,Y)，随机变量X与Y的边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y),如果对于任意的x,y，均有则称X,Y相互独立的随机变量。yYPxXPyYxXP，既有4.二维离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性jiijyYxXPp，，，，21jiiixXPp，，21ijjyYPp，，21jjiijppp设(X,Y)是二维随机变量，其联合分布率为随机变量X与Y的边缘分布率分别为如果对于任意的i,j，均有则称X,Y相互独立的随机变量.yfxfyxfYX，设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，随机变量X与Y的边缘概率密度函数分别fX(x),fY(y),如果对于几乎所有的x,y，有则称X,Y相互独立的随机变量。说明:上式对f(x,y)的所有连续点(x,y)必须成立.连续型随机变量的独立性2.4大数定律与中心极限定理2.4.1大数定律2.4.2中心极限定理2.4.1大数定律1.贝努力(Bernoulli)大数定律事件的频率值随着使用次数的增加稳定地在某一值附近摆动，多次测量的结果的平均值与真值无限接近，这是为什么？,1}|{|limpnmPn.0}|{|limpnmPn或设m为n重贝努里试验中事件A发生的次数,p是事件则对于任意ε0,有A发生的概率,此定律说明m/n表示n次实验中，事件A发生的频率，P表示事件A在每次实验中发生的概率，在实验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，其是概率论中事件概率的统计定义的理论依据，同时也是统计学中常用的实际推断原理的理论依据.2.辛欣大数定律数学期望与方差，,,2,1,,2kDXEXkk,1}|1{|lim1nkknXnP.0}|1{|lim1