《平行四边形的性质》典型例题

1/5《平行四边形的性质》典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？例2已知：如图，ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长.例3已知：如图，在ABCD中，BDAC、交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由.例4已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且DEAFADDE,，垂足为F.求证：.DCAF例5O是ABCD对角线的交点，OBC的周长为59，38BD，24AC，则AD________，若OBC与OAB的周长之差为15，则AB______，ABCD的周长=______.DCABO2/5例6已知：如图，ABCD的周长是cm36，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且cmDE34，cmDF35.求这个平行四边形的面积.例7如图，已知：ABCD中，BCAE于E，CDAF于F，若60EAF，cmBE2，cmFD3.求：AB、BC的长和ABCD的面积.3/5参考答案例1分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得1803xx，解得45x，∴.1353x∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°.例2分析由平行四边形对边相等，可知BCAB平行四边形周长的一半＝30cm，又由AOB的周长比BOC的周长多8cm，可知8BCABcm，由此两式，可求得各边的长.解∵四边形ABCD为平行四边形，∴.,,OOAOBCADCDAB60BCADCDAB，∴.30BCAB8)(OCBCOBOBABAO，∴.8BCAB∴.11,19ADBCCDAB答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm.说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.例3分析观察图形，DOFBOECFOAEOCDOABO,,，从而可说明.OFOE证明在ABCD中，BDAC、交于O，∴.OCAOCDAB//，∴CFOAEOFCOEAO,，∴)(AASCFOAEO，∴.OFOE例4分析观察图形，AFD与DCE都是直角三角形，且锐角DECADF，斜边DEAD，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则ABE与AFE全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明∵四边形ABCD是矩形，∴90,//CBCAD，∴.DECADEDEAF，∴90CAFD，4/5又DEAD，∴DCEAFD。∴.DCAF例5解答ABCD中，ACOCOA21，BDODOB21.∴OBC的周长BCACBDBCOCOB2121591219BC∴28BC.在ABCD中，ADBC.∴28ADOBC的周长－OAB的周长)()(ABOBOABCOCOBABBC15∴13AB∴ABCD的周长82)2813(2)(2BCABADCDBCAB说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将OBC与OAB的周长的差转化为两条线段的差.例6解答设ycmBCxcmAB,.∵四边形ABCD为平行四边形，∴BCADCDAB,.又∵四边形ABCD的周长为36，∴3622yx①∵BCDFABDE,，∴∴yx3534②解由①，②组成的方程组，得8,10yx.∴)(34034102cmDEAB.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.例7分析由已知条件60EAF，在四边形AECF中，可求出120C.从而可知60DB，所以30DAFBAE.因此，在直角三角形ABE和直角三角形ADF中，可分别求出AB、AD长，从而也可求出AE、AF的长，5/5则容易求出ABCD的面积.解答在四边形AECF中，90AFCAEC（垂直定义），60EAF（已知），∴120609090360C.在ABCD中，∵BCADCDAB//,//，∴180CB，180CD∴60DB在ABERt中，60B，2BE，∴42BEAB，∴4ABCD同理，可求出6BCAD.在ABERt中，根据勾股定理，32242222BEABAE∴2)(312326cmAEBC