第二章 无套利定价原理

第二章无套利定价原理什么是套利一、商品贸易中的“套利”行为例如：某贸易公司：从生产商处买入铜，再以更高的价格卖给需要铜的厂家，从中赚取差价，这是一种正常的贸易行为。如果他可以同时与生产商和需求商签订合同，例如以15000元/吨的价格买进，以17500元/吨的价格卖出，从中赚取2500元/吨的差价。第一种情况下，该公司承担一定的风险，在第二种情况下，不承担风险。商业贸易中套利的困难信息成本（寻找合适的买家比较困难、商品的品质和等级不统一）空间成本（商品的运输、存储成本高）时间成本（利息费用，存储期间价格下降的风险）税收二、金融市场中的套利行为案例：ETF套利ETF：交易型开放式指数基金ETF市值ETF净值二级市场买入ETF基金ETF基金赎回二级市场卖出一篮子股票ETF市值ETF净值二级市场买入一篮子股票ETF基金申购二级市场卖出ETF基金金融市场中套利更加便利金融产品的标准化，交易的集中化和电子化使买卖双方的信息成本大幅度降低（交易的流动性增强）金融产品的无形化（一纸合约）基本消除了空间成本卖空机制使无风险套利更容易（在商品贸易中只能先买后卖，卖空机制可以实现先卖后买；卖空机制与金融衍生品的结合使套利风险大大降低）金融产品在时间和空间上的多样化增加了套利机会金融市场的独特性使套利成为金融市场的一种重要行为;套利是指一种能产生无风险收益的交易策略;在实际的套利中，纯粹的无风险套利很少，大部分情况是一种风险套利，但相对于其盈利来说风险较小.什么是无套利定价原理一、金融资产的三种定价方法基于现金流贴现的估价方法(绝对估值)基本思想：资产当前的价值应该由其未来现金流的贴现值所决定代表性成果：红利贴现模型；盈余贴现模型缺点：未来现金流的估计和贴现率的估计有很大的主观成分基于风险/收益的定价方法(相对估值)基本思想：资产的收益与风险成正比；资产的系统风险可以得到收益补偿，非系统性风险可以分散化提出者：Markovitz(1952)；Sharpe（1964）、Litner（1965）和Mossin（1966）；–Ross(1976)；FamaandFrench,1992-2002代表性成果：现代资产组合理论；CAPM模型；APT模型；三因子模型缺点：是一种相对估值方法；风险因子的确定没有达成共识；风险因子具有时变性，估计较为困难基于无套利均衡的定价方法基本思想：以无套利均衡定义市场均衡；利用资产之间的复制关系进行定价，即市场达到均衡时，可以相互复制的资产和资产组合具有相同的价值提出者：BlackandScholes（1973）；Merton等代表性成果：Black-Scholes期权定价公式；期权二项式定价方法等二、无套利定价原理含义及存在条件金融市场上的套利非常方便和快捷，使得套利机会一旦出现，马上会导致投资者竞相套利，套利机会很快消失，无套利均衡重新建立因此无套利均衡可以被用于金融资产的定价无套利定价原理：金融资产的合理价格是市场达到无套利均衡时的价格我们可以通过资产之间的复制关系来构造套利组合，当市场达到均衡时套利组合的收益为0无风险套利机会存在的条件（市场非均衡状态的描述）存在两个资产组合，他们的未来收益（现金流）相同，但它们的成本（价格）不同存在两个相同成本（价格）的组合，但第一个组合在所有状态下的收益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的收益大于第二个组合一个组合的构建成本为0，但在所有状态下这个组合的收益都不小于0，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的收益大于0例如：2009年6月3日，江铜权证价格2.965元，江西铜业31.14元。权证执行价格15.44元，每4个权证可用于购买1股股票，权证到期日为2010年10月9日。设无风险利率为3％，期权剩余期限为1.33年。存在套利机会，套利策略为：期初现金流期末现金流ST15.44ST15.44买入4个权证:-2.9654＝-11.86ST－15.440卖空1股股票31.14-ST-ST无风险投资-19.2820.0620.06合计04.6220.06-ST4.623.1644.1514.3133.103.0)(eXeStTr07.44/3.16无套利均衡（市场均衡状态的描述）的三个等价性推论同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益与某一个证券相同，则这个资产组合的价格与这个证券价格相等。这个组合称为该证券的“复制组合”动态组合复制定价：如果一个自融资交易策略的最终收益与某一个证券相同，则该证券的价格等于自融资交易策略的成本。自融资交易策略：资产组合的价值变化完全取决于交易的盈亏；持有期间没有资金的流入与流出；组合中的证券调整的资金全部来源于组合自身的收益或损失。（例如投资1万元购买股票，期间不增加投资，也不取出资金）三、确定状态无套利定价原理的应用1．同损益同价格例2-2：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？根据无套利定价原理，两个证券损益相同，损益B的合理价格是98元如果B的价格为97.5元，市场存在套利机会，投资者可以卖出证券A并买入证券B并持有到期，可以实现0.5元的无风险收益。2．静态组合复制定价例2-3：假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为：（1）1年后到期的零息票债券的当前价格为98元；（2）2年后到期的零息票债券的当前价格为96元；（3）3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。问题：（1）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？（2）息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？我们考虑如何用三个零息票债券复制债券A1010110复制策略：（1）购买0.1张1年后到期的零息票债券1年后的现金流为10元；0.198=9.8（2）购买0.1张2年后到期的零息票债券，2年后的现金流为10元；0.196=9.6（3）购买1.1张2年后到期的零息票债券，3年后的现金流为110元。1.193=102.3=121.7债券A的价格应该等于该复制组合的价格如果债券A的市场价格为120，则存在套利机会，应该卖出复制组合，买进债券A，可实现1.7元的收益。3．动态组合复制定价例2-4：假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元（远期价格）。并且假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券的价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？如果债券价格为95元，应该如何套利？三个债券的损益图：100Z01价格：98元100Z12价格：98元100Z02价格：?元我们考虑一个复制债券Z02的自融资策略：(1)当前购买0.98份的债券Z01，持有到期可以获得98元的现金(2)在1年末用债券Z01到期支付的98元购买1份债券Z12，持有到期可以获得100元现金交易策略现金流当前1年末2年末购买0.98份的债券Z01-980.98＝-96.041000.98=98在1年末购买1份债券Z12-98100合计-96.040100如果债券Z02的价格为97元，存在套利机会，套利策略是买进自融资策略组合（多头），卖出债券Z02（空头）套利交易策略现金流当前1年末2年末卖出债券Z0297-100购买0.98份的债券Z01-980.98＝-96.041000.98=98在1年末购买1份债券Z12-98100合计0.9600如果债券Z02的价格为95元，存在套利机会，套利策略是卖出自融资策略组合（空头），买进债券Z02（多头），套利交易策略现金流当前1年末2年末卖空0.98份的债券Z01980.98＝96.04-1000.98=-98在1年末卖空1份债券Z1298-100买进债券Z02-95100合计1.04004.存在交易成本时的无套利定价原理当存在交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，所构造的套利策略不一定能盈利。无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个价格上限和下限。例2-5：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？例题分析：在没有交易成本，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果存在卖空和出售债券费用，在价格不等于98时，不一定存在套利机会。比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：卖空债券A，获得98-1=97元，不够用于买进债券B（97.5元）；因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的无套利价格区间为：[97,99]。当债券B低于下限97元时，可以通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。债券B的当前价格是97.5元，落在无套利区间内，将无法使用套利策略获得盈利。进一步讨论：尽管债券B价格落在[97，99]区间内时，无法通过套利使其价格回到98元的合理位置上，但实际上这两个债券的价格会趋向一致（为什么？）我们上述的套利没有用到出售债券也要支付1元费用的条件。（该条件是否无用，为什么？）如果没有这一条件,我们考虑一个已经持有债券A的投资者，如果债券B的价格为97.5元，他会卖出债券A，买进债券B，实现0.5元的利润，我们的分析就得不到一致的结果。在上例中,如果卖空债券的成本为1元,出售一个债券的成本为0.5元,无套利均衡价格是多少?例2-6：假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。不考虑违约情况。假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？例题分析：任何一个套利交易策略都要涉及买卖两个交易，总的交易成本为1.5元，所以债券B的无套利区间为[96.5，99.5]练习有如下四个债券，现金流如下表所示，是否存在套利机会，如何套利？期限期初1年末2年末3年末A-97100B-93100C-88100D-1101010110组合有如下四个债券，现金流如表所示，是否存在套利机会，如何套利？期初1年末2年末3年末A-100.21010110B-93100C-92.855105D-1101515115四、不确定状态无套利定价原理应用1．同损益同价格例2-7：假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为：在状态1时上升至105，在状态2时下跌至95元。另外，假设不考虑