第3章离散傅里叶变换

第3章离散傅里叶变换(DFT)第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例习题与上机题第3章离散傅里叶变换(DFT)傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(FastFourierTransform，FFT)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。第3章离散傅里叶变换(DFT)因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为10()DFT[()]()0,1,,1NknNnXkxnxnWkN(3.1.1)2πjeNNW第3章离散傅里叶变换(DFT)X(k)的离散傅里叶逆变换(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)为2πjeNNW式中，，N称为DFT变换区间长度。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFT［X(k)］的唯一性。101()IDFT[()]()NknNkxnXkXkWN0,1,,1nN(3.1.2)第3章离散傅里叶变换(DFT)把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于110011()001IDFT[()][()]1()NNmkknNNNkmNNkmnNmkXkxmWWNxmWN为整数为整数，，，，iiNnmiiNnmWNNknmkN01110)(所以，在变换区间上满足下式：IDFT［X(k)］=x(n)0≤n≤N－1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。第3章离散傅里叶变换(DFT)例3.1.1已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得到：1001)()(NnNnkNWWnkXk=0,1,…,N-1δ(n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。第3章离散傅里叶变换(DFT)图2-9序列δ(n)及其离散傅里叶变换第3章离散傅里叶变换(DFT)例3.1.2已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列，求它的N点DFT。解由DFT的定义式（2-30）110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到k的取值区间，可得]11,0[,011,16)(kkkkX其他第3章离散傅里叶变换(DFT)图2-10有限长序列及其DFT第3章离散傅里叶变换(DFT)［例3.1.3］已知如下X(k):13)(kXk=01≤k≤9求其10点IDFT。解X(k)可以表示为X(k)=1+2δ(k)0≤k≤9写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT为常数：111()()()[()]1xnnXkDFTxn第3章离散傅里叶变换(DFT)同样，一个常数的DFT是一个单位脉冲序列：x2(n)=1X2(k)=DFT［x2(n)］=Nδ(k)所以)(51)(nnx第3章离散傅里叶变换(DFT)3.1.2DFT与傅里叶变换和Z变换的关系设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点DFT分别为比较上面二式可得关系式(3.1.3)或1010()ZT[()]()()DFT[()]()0,1,,1MnnMknNNnXzxnxnzXkxnxnWkN2πje()()0,1,,1kNzXkXzkNj2π()(e)|0,1,,1kNXkXkN(3.1.4)第3章离散傅里叶变换(DFT)X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N，这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果也不同。第3章离散傅里叶变换(DFT)X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中，x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT［x(n)］4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。第3章离散傅里叶变换(DFT)图3-1DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系第3章离散傅里叶变换(DFT)knNW3.1.3DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有所以(3.1.1)式中，X（k)满足：(),kkmNNNNWWkm为整数,为自然数，11()00()()()()NNknkmNnNNnnXkxnWxnWXkmN11()0011()()()()NNknknmNNNkkxnXkWXkWxnmNNN第3章离散傅里叶变换(DFT)(3.1.5)(3.1.6)()()mxnxnmN()()()NxnxnRn上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期序列中从n=0到N－1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。因此x(n)与的上述关系可叙述为：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。)(~nx)(~nx)(~nx)(~nx)(~nx)(~nx实际上，任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即)(~nx)(~nx第3章离散傅里叶变换(DFT)为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时，将(3.1.5)式用如下形式表示：(3.1.7)式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示模N对n求余，即如果n=MN+n10≤n1≤N－1,M为整数则((n))N=n1例如，,则有所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。()(())Nxnxn88,()(())Nxnxn88(8)((8))(0)(9)((9))(1)xxxxxx第3章离散傅里叶变换(DFT)图3.1.2x(n)及其周期延拓序列第3章离散傅里叶变换(DFT))(~nx)(~nx应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当NM时，(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和(3.1.7)式仅对N≥M时成立。图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6，当延拓周期N=4时，如图3.1.2（c）所示。如果x(n)的长度为M，且，N≥M，则可写出的离散傅里叶级数表示式Nnxnx))(()(~(3.1.8)(3.1.9)111000()()(())()NNNknknknNNNNnnnXkxnWxnWxnW110011()()()NNknknNNkkxnXkWXkWNN第3章离散傅里叶变换(DFT)式中即X(k)为的主值序列。将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比较可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列，即。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n))N的频谱特性，这就是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。()()()NXkXkRk(3.1.10)()Xk()Xk)()(~)(kRkXkXN()Xk第3章离散傅里叶变换(DFT)例3.1.4有限长序列x(n)为01)(nx0≤n≤4其余n求其N=5点离散傅里叶变换X(k)。解序列x(n)如图2-12（a）所示。在确定DFT时，我们可以将x(n)看作是一个长度N≥5的任意有限长序列。首先我们以N=5为周期将x(n)延拓成周期序列，如图2-12（b），的DFS与x(n)的DFT相对应。因为在图2-12（b）0≤n≤N-1上为常数值，所以可以得出)(~nx011)(~)/2210)/2(NeeekXNkjkjNnnNkj（k=0,±N,±2N,…其他(2-35)第3章离散傅里叶变换(DFT)也就是说，只有在k=0和k=N的整数倍处才有非零的DFS系数值。这些DFS系数如图2-12（c）所示。为了说明傅里叶级数与x(n)的频谱X(ejω)间的关系，在图2-12（c）中也画出了傅里叶变换的幅值|X（ejω)|。显然，就是X(ejω)在频率ωk=2πk/N处的样本序列。按照式（2-29），x(n)的DFT对应于取的一个周期而得到的有限长序列X(k)。这样，x(n)的5点DFT如图2-12（d）所示。)(~kx)(~kX)(~kX)(~kX0511)()(52215052kjkjnnkjeeenxkXk=0,1,2,3,4k=0k=0,1,2,3,4第3章离散傅里叶变换(DFT)图3-3DFT的举例说明（a）有限长序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=10的周期序列x(n);（c）DFT的幅值~第3章离散傅里叶变换(DFT)图3-2DFT的举例说明（a）有限长序列x(n);（b）由x(n)形成的周期N=5的周期序列;（c）对应于的傅里叶级数和x(n)的傅里叶变换的幅度特性|X(ejω)|;（d）x(n)的DFTX(k))(~nx)(~kX第3章离散傅里叶变换(DFT)【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。解由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，分别是x(n)的16点和32点DFT。调用fft函数求解本例的程序ep312.m如下:第3章离散傅里叶变换(DFT)%例3.1.2程序ep312.m%DFT的MATLB计算xn=［1111］;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的