一轮复习正弦定理、余弦定理及解三角形(教师版)

第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形最新考纲1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB．(√)(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.(√)(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.(×)2．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A．19B．13C．1D．72解析由正弦定理知，2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2ba2－1，又知3a＝2b，所以ba＝32，2sin2B－sin2Asin2A＝2×322－1＝72，故选D．答案D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．答案A4．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________.解析由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，即3＝4＋AB2－2AB，即AB2－2AB＋1＝0.解得AB＝1.答案15．(人教A必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形考点一正、余弦定理的简单运用【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝23，b＝6，A＝45°，则c＝________.(2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________.解析(1)法一在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，深度思考已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！sinC＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24.故c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.法二在△ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即c2－23c－6＝0，所以c＝3±3.因为c＞0，所以c＝3＋3.(2)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理的推论得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，所以B＝2π3.答案(1)3＋3(2)2π3规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【训练1】(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)(2014·绍兴模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.解析(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－12ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12ab2ab＝－14＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝c2×32＝3，c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×4×1×12＝13，∴a＝13，∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R是△ABC的外接圆的半径．)∴a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R＝asinA＝13sin60°＝2393.答案(1)A(2)2393考点二正、余弦定理的综合运用【例2】(2014·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝1－cos2A＝33，因为B＝A＋π2，所以sinB＝sinA＋π2＝cosA＝63.由正弦定理，得b＝asinBsinA＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2，得cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×32×13＝322.规律方法有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【训练2】(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝92sinC，求a和b的值．解(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC可得：sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC．由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝3－12＋22－2×2×3－1cos120°＝6(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝ACsin120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【训练3】(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝1002(m)．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理，得ACsin45°＝AMsin60°，因此AM＝1003(m)．在Rt△MNA中，AM＝1003m，∠MAN＝60°，由MNAM＝sin60°，得MN＝1003×32＝150(m)．答案150微型专题解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题．解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化．解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等．【例4】已知△ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(5,0)，则sinA的值为________.点拨先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可．解析因为AB→＝(－3，－4)，AC→＝(2，－4)，所以AB→·AC→＝－6＋16＝10，|AB→|＝－32＋－42＝5，|AC→|＝22＋－42＝25.所以cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→|·|AC→|＝10105＝55.即cosA＝55，因为0＜A＜π，所以sinA＝255.答案255点评本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复