压轴题一：二次函数中的面积问题

1xCOyABDah育才实验学校九年级数学压轴题库（一）二次函数中的面积问题知识点：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.例1如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.xCOyABD112例2如图，已知抛物线的顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线的解析式；⑵求点B的坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3例3如果抛物线y=－x2+2(m－1)x+m-1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b。求1）、m的取值范围2）、若a：b=3：1，求m的值，并写出此时抛物线的函数解析式。3）、设2）中抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于△BCM的面积的8倍？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。4例4如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．yxODECFAB5育才实验学校九年级数学压轴题库（一）答案例1例2图2xCOyABD116例3解：（1）设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0).因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x20，即101m解得：m1.此时，△0.（2）因为a:b=3:1，设a=3k,b=k（k0）,则x1=3k,x2=-k.32(1)13()1kkmmkk解得：m1=1(舍去)；m2=43∴抛物线的解析式是22133yxx(3)1231412241224(,)(,)(,)393939PPP例47yxODECFAB