同角三角函数基本关系

同角三角函数的基本关系学习目标：1．【知识目标】（1）掌握同角三角函数的基本关系式.（2）能准确应用同角三角函数基本关系进行求值、化简、证明.3.【突破方法】（1）循序渐进，层层深入.（2）练习——认识——再练习.2.[重点]：同角三角函数基本关系式的推导及应用.[难点]：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养上.一：温故知新M问题2.图1中的三角函数线是：正弦线；余弦线；正切线.yxxy)0(x)0,1(ATcos；tansin；问题3.问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题1.如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于，那么由三角函数的定义可知：),(yxPOxyP图1MPOMAT（x,y）MPOMOPOP1P角的正弦线，余弦线，半径三者构成直角三角形，且，由勾股定理得，用点坐标可以表示为，即可以写成二、探究新知：问题⑵当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？1、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2当角的终边在轴上时,x110cossin22101cossin22y当角的终边在轴上时,问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）222OPOMMP122xy1cossin221α2cosα2sin(），都有结论：对于任意角R平方关系sin,cos2.观察任意角的三角函数的定义,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系sincostan,,有什么样的关系呢？思考：cossintan,1cossin22②这两个公式的前提是“同角”，因此注：①商的关系不是对任意角都成立，是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立),2(Zkk③2222sinsinsinsinsin写成的平方，不能将的简写，读作是三、例题互动类型一：应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：53)54(1sin1cos22得由1cossin22所以是第二象限角因为,0cos,53cossin454tan()cos53307全国141sin,5例、已知且是第二象限角，求角的余弦值和正切值.的值，求、已知变式tan,cos54sin1解：当是第一象限角时，0cos3cos5343554cossintan当是第二象限角时，0cos3cos534)35(54cossintan自我反思：24sin53cos1sin5sin4tancos3解：由得得所得结果的符号由角所在象限决定得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角的值，求、已知变式cos,sin3tan2为第二或第四象限角0tan3cossin1cossin22{43sin41cos22{解得：2141cos,2343sin2141cos,2343sin为第四象限角时当为第二象限角时当1cossin22tancossin{方程(组)思想解：cossintan讨论交流：各自的特点公式tancossin,1cossin22移项变形：2222cos1sinsin1cos{常用于正弦、余弦函数的相互转化，相互求解.注：在开方时，由角所在的象限来确定开方后的符号.即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1{sin221sin,1sincos{当在一、四象限时，当在二、三象限时sintancos公式的特点变形：tansincos由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切注：所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的.0052sincos,180270,tan5例、已知求的值.1cossin55cossin22恒等式，得到方程组解：依题意和基本三角55cos552cos02cos5cos5,sin2或由方程解得得消去55cos,,0cos27018000所以，因为.2cossintan,552sin,于是代入原方程组得sincos3tan1例、化简类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式解题思想：统一消元的思想,常用化简方法“切化弦”.1cossincossin解：原式coscossincossincostancos)1(跟踪练习：化简下列各式：22cos)tan1)(2(sin)1(答案：1)2(答案：201-sin80例4化简000280cos80cos80cos解：原式解题思路：公式变形例6xxxxcossin1sin1cos求证证法一：证法二：0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos发散思维提问：本题还有其他证明方法吗？交流总结证明一个三角恒等式的方法注意选择最优解法类型三应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式cosx1sinx1-sinxcosx因为xxxxcos)sin1(coscos22xxxxcos)sin1()sin1(cos220所以，原式成立可知，由0sin10cosxx左边右边xxcossin1所以原式成立证法三：)sin1)(sin1()sin1(cosxxxxxxx2sin1)sin1(cosxxx2cos)sin1(cos三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系：利用作差法证明等式两边之差为零.注：要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）.（3）证明左、右两边等于同一式子.四、归纳总结：（2）三种基本题型:①三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论.②化简题：一定要在有意义的前提下进行.③证明问题.（1）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkk本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法五、练习11sinxcosx,tanx3sincos2tan2sincos、已知，求的值.、已知，求的值.223(cos1)sin22cos.、求证