北科大数理方程 1+ch1+数理方程的建立

1陈明文北京科技大学应用科学学院E-Mail:[e-mail]数学物理方程2数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的偏微分方程．数学物理方程所研究的自然界中的许多物理现象和普遍规律.序言3现实中，具体的科学、工程问题的解决实际问题数学物理模型数学方法学习基本原理，基本求解方法随着计算机的发展，数值方法已深入到物理、材料科学与加工、信息等各个领域。数值方法分析方法本课仅限介绍数学模型的最基本的解析分析方法。•1.教材选用《数学物理方程》孙仁济陈明文编中国科学文化出版社。•2.每周二交作业，由课代表在课间收齐，放在讲台上；作业占期末成绩的20%，一次未交扣2分。如果累计4次未交，将取消期末考试资格。要求书写规整，独立完成。•3.答疑时间：每两周答疑一次，•地点：学107；•4.集中考试、统考•5.电话：[phone]•Email地址：[e-mail]；5数学物理方程的建立•数学物理方程的基本概念•数学物理方程的分类•数学物理方程的导出•定解条件和定解问题6数理方程的基本概念一.偏微分方程的基本概念12(,,,)nxxxx自变量12()(,,,)nuxuxxx未知函数121112(,,,,,,,,)0nmnmmmnnuuuFxxuxxxxx偏微分方程的一般形式7PDE的阶：PDE的解古典解广义解是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。线性PDE非线性PDE12nmmmm121112(,,,,,,,,)0nmnmmmnnuuuFxxuxxxxx8非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE9线性PDE：PDE中所含未知函数及其各阶导数出现的最高次数为一次的。例如：21111,11(,,)(,,)(,,)(,,),nnijnjnnnijjijjuuaxxbxxcxxufxxxxx,,,ijjabcf其中是给定的函数。,,ijjabc系数均为常数.常系数线性PDE:否则称为变系数的．齐次线性PDE:0f.否则称为非齐次的．线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分．主部101.sin()0uxyux线性PDE2.线性PDE3.sinuuuxt非线性PDE4.222()()uuuxt非线性PDE22222cosuuxaettx举例11是二维的是一维的是一维的是一维的1.sin()0uxyux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettxPDE维数：是指方程中出现的空间坐标的个数。12定常和非定常：如果方程中不出现时间t,则称方程为定常的,否则称为非定常的.是定常的是非定常的1.sin()0uxyux2.3.sinuuuxt4.222()()uuuxt22222cosuuxaettx是非定常的是非定常的13二阶线性方程的分类22211122222(,)2(,)(,)uuuaxyaxyaxyxxyy12(,)(,)(,)(,),uubxybxycxyufxyxy对于两个变量的二阶线性偏微分方程可以表为以下形式：,,,ijiabcf其中为已知函数。14记2121122(,)xyaaa定义：称上述方程在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有(,)0xy若在点M处，有(,)0xy若在点M处，有(,)0xy多于两个变量的二阶PDE的分类参见《数学物理方法》,梁昆淼编,高教出版社22211122222(,)2(,)(,)uuuaxyaxyaxyxxyy12(,)(,)(,)(,),uubxybxycxyufxyxy15举例：判断下列方程的类型22220uuxy22uuxt2222uuxt拉普拉斯方程，也是椭圆型方程热传导方程，也是抛物型方程波动方程，也是双曲型方程16叠加原理•原理：–线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程–如果：Lu1=f1Lu2=f2–则：L(au1+bu2)=af1+bf2•应用：–齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；–非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；–两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。多个非齐次方程的解的线性组合情况，如何？17-设满足方程为常数，而级数收敛，且能够逐项微分两次，则满足方程，此处要求级数收敛。(1,2,3,)iui(1,2,3,),iiLufi(1,2,3,)ici1iiiucuuLuf1iiff18数学物理方程的导出•波动方程–均匀弦的微小横振动方程–推广•热传导方程、扩散方程–一维热传导方程–推广•调和方程19•弦的横振动方程•弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。•振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。·考虑一根拉紧的长为l的弦，线密度,以弦的平衡位置所在直线为x轴，并以弦的左端点为坐标原点，则右端点的坐标为（l，0）。求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。遵循牛顿第二定律：作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度20取弦的平衡位置为ox轴，运动平面为x-O-u.在时刻t，弦线在x点的位移为u(x,t)ouxPQl把上图中PQ的放大ouxPQxxxTT'21•设弦上坐标为x的点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移用函数u(x,t)来表示。(,),xxx下面利用微元法建立方程：在任一时刻t，任取一小段弦它弧长为其中倾斜角很小。2222111sin,usxuxxtgxxx22现在研究弧段在时刻t时的受力情况。弦所受的力有弦内部的张力T，其方向沿弦的切线方向。假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存在外力作用。(,).Fxtx(,),Fxt其方向垂直于x轴,coscos0.TT在ox轴方向上，弧段所受力的总和为(,)xxx上所受的外力近似为：则小弦段设在时刻t，x点处的外力密度为23在ou轴方向上，弧段所受力的总和为sinsin(,)TTFxtx22(,)uxtt,x弧段在时刻t沿ou轴方向的加速度近似为其质量为所以由Newton第二定律知sinsin(,)TTFxtx22(,)uxtxt24因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有（1）由于24cos124,coscos1.略去的高于一次方的各项有（2）sin(,)utgxtxsin(,)utgxxtx25于是有.TT22(,)(,)(,)(,),uuuxtTxxtxtFxtxxxxt0x2222(,)(,)(,)uuTxtFxtxtxt2222222,uTuFuaftxx,x两端除以再令可得或所以其中,,/fxtFxt表示单位长度单位质量所受的力。26若弦不受外力作用，即0F22222uuatx自由项：方程中与未知函数无关的项。•方程称为非齐次方程：•方程称为齐次方程：•上述方程称为弦振动方程，或一维波动方程。则方程变为2222(,)(,)(,)uuTxtFxtxtxt0f¹0f=27建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。在上面的推导过程中，我们作了一些假设：假设了弦是完全柔软的，张力才会沿着弦的切线方向；又假定了弦的横振动是很小的，所以才可以sin代替.tg并且弦的纵向伸长可以忽略不计，不然由于各点张力的不同，张力T就会依赖于u(x,t),得到的方程将不是一个线性方程，而是非线性方程。·总结：28·均匀薄膜的横向振动设有一绷紧的柔软且有弹性的均匀薄膜，静止平衡时薄膜的平面为oxy平面，薄膜上各点在任意时刻t的横向位移是u(x,y,t)。由于薄膜是均匀的，柔软且有弹性，所以薄膜上各点的张力为常数T。在薄膜上任取一微元，其原来的静止位置在,;,.xxxyyy先看x和xx这两边。薄膜所受的张力的横向分量分别为29(,,)uxytTx和(,,),uxxytTx所以薄膜在x和xx两边所受的总作用力是22(,,)(,,)(,,),uxxytuxytuxxytTTyTxyxxx其中01.同理，在y和yy两边所受的总作用力是22(,,)uxyytTxyy01。其中30设表示薄膜的面密度，根据牛顿第二定律，得到22uxyt22(,,)uxxytTxyx22(,,)uxyytTxyy两边消去,,xy令0,0,xy于是222222uuuTtxy或2222222,uuuatxy其中2Ta。31如果薄膜在单位面积上所受的横向外力是,,,Fxyt那么2222222,,,uuuafxyttxyFf。其中这就是均匀膜的受迫振动方程，它含有两个空间变量，我们也称它为二维波动方程。32均匀杆的纵振动杆的弹性力学基本力学方程：胡克定律LSdLfLdLYSfY：杨氏模量，单位面积上的应力。杆中选L=dx长一段，时刻t，x一端位移u，x+dx一端位移u+du。duuduudL)(xYSudxduYSf杆的伸长33xxdxxuudu+当取杆长dx时，两端的相对伸长和应力将不同，杆受力(,)(,)xdxxxxxxfffYSuxdxtYSuxtYSudx+=-=+-=又有牛顿定律：ttuSdxf)(即02xxttuau/2Ya为波速34上面的问题对应于数学上理想化的一维弦的振动问题或者二维波动方程问题•电磁波和声波的传播满足三维波动方程222222222uuuuatxyz222222222(,,,)uuuuafxyzttxyz35扩散方程•一维热传导方程的推导–问题：一根长为l的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。.1x2x(,).uxt分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从到的一段(代表)，设杆中温度分布为1x2xAB36利用Fourier热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。由Fourier热力学定律，单位时间内通过A端面的热量为22(,)xuxtQkukx单位时间内通过B端面的热量为11(,)xuxtQkukx37•在dt时段内通过微元的两端流入的热量12211(,)(,)()()xxuxtuxtdQQQdtkdtxx2122(,)xxuxtkdxdtx12[,]tt2211212(,)txtxuxtQkdxdtx1(,)uxt在任意时段内，同时在此时段内,微元内各点的温度由流入微元的热量升高为2(,),uxt3821221[(,)(,)]xxQcuxtuxtdx2211(,)txtxuxtcdxdtt12.QQ12[,]tt12[,]xx22uucktx为此所需的热量为由能量守恒定律可得：由和的任意性可得39