对坐标的曲线积分

oxyABL一、问题的提出1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),(常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii.ABFW求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,,).,;,,2,1(),(,),,(),,(.),(),,(,11101111222111时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ,),(),,(叫做被积函数其中yxQyxP.叫积分弧段L2.存在条件：.,),(),,(第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当LyxQyxP3.组合形式LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF其中.LdsF4.推广空间有向曲线弧.),,(lim),,(10iiiniixPdxzyxP.RdzQdyPdx.),,(lim),,(10iiiniiyQdyzyxQ.),,(lim),,(10iiiniizRdzzyxR5.性质.,)1(2121LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设,,)2(LLL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{(4)两类曲线积分之间的联系：,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为,,),(为处的切线向量的方向角上点yxLLLdsQPQdyPdx)coscos(则其中,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt（可以推广到空间曲线上）,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则dstArdA,dsAt可用向量表示，其中},,{RQPA},cos,cos,{cost},,{dzdydxdstrd有向曲线元；.上的投影在向量为向量tAAt处的单位切向量上点),,(zyx例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B的定积分，化为对y)2(,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例2解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.03a)(cos)cos1(2d例3).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系思考题当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如L：taxcos，taysin，]2,0[t，a是正常数），试问如何表示L的方向（如L表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.例如L：taxcos，taysin，]2,0[t中当t从0变到2时，L取逆时针方向;反之当t从2变到0时，L取顺时针方向.一、填空题:1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设0),(),(dyyxQdxyxPL,则LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(____________；3、在公式dyyxQdxyxPL),(),(dttttQtttP)}()](,)([)()](,)([{中,下限对应于L的____点,上限对应于L的____点；4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________.练习题二、计算下列对坐标的曲线积分:1、Lxydx,L其中为圆周)0()(222aayax及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2、Lyxdyyxdxyx22)()(,L其中为圆周222ayx(按逆时针方向饶行)；3、ydzdydx,其中为有向闭折线ABCD,这里的CBA,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4、ABCDAyxdydx,其中ABCDA是以)0,1(A，)1,0(B,)0,1(C,)1,0(D为顶点的正方形正向边界线.三、设z轴与重力的方向一致,求质量为m的质点从位置),,(111zyx沿直线移到),,(222zyx时重力所作的功.四、把对坐标的曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(化成对弧长的积分,L其中为:1、在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、沿抛物线2xy从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周xyx222从点(0,0)到点(1,1).练习题答案一、1、坐标；2、-1；3、起,点；4、dzRQdyPdxdsRQP)coscoscos(.二、1、;23a2、2；3、21；4、0.三、)(,,0,012zzmgWmgF.四、1、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQyxP2),(),(；2、LdyyxQdxyxP),(),(LdsxyxxQyxP241),(2),(；3、LdyyxQdxyxP),(),(LdsyxQxyxPxx)],()1(),(2[2.