信号与系统第二章

第二章连续时间系统的时域分析2.1引言•求解微分方程•零状态响应•零输入响应•卷积2.2微分方程的建立与求解•微分方程的建立不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。例2-1例2-2C)(tucR)(tiS(t=0)0)0(UucRC电路的零输入响应：Mu(t)（速度）Bu(t)(摩擦力）物体的减速运动：0)0(0)()(UutudttduRCccc（1－1）初速度）()0(0)()(0UutBudttduM（1－2）例对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。•高阶微分方程--------------称为输入/输出方程•状态方程---------------适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组）例R)(tusL)(tiC+e(t)-)()()()(22tutudttduRCdttudLCsccc若选)(),(tutic作为输出，则系统的状态方程为：sccuLtiLRuLdtditicdttdu1)(1)(1)(一阶微分方程组一般，对于一个线性时不变系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述（）：ebdtdeb...dtedbdtedbradtdra....dtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111n阶常系数微分方程线性常系数微分方程的求解t0•线性常系数微分方程描述的系统为时不变系统•起始状态为零时才是线性时不变系统•增量线性系统——任意两个激励信号产生的两个响应之差是两激励信号之差的系统。n阶常系数微分方程的求解法全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）全响应=齐次方程通解+非齐次方程特解（自由响应）（受迫响应）时域分析法（经典法）变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解•齐次解与特解齐次解满足齐次方程。齐次解的形式满足为α的值由特征方程2－11决定A由求解区间内的边界条件决定。tAe特征根)(trh齐次解jm＋＝一对共轭复根重实根单实根21)sin()cos(012211tDtCeeCetCetCetCCettttmmtmmt不同特征根所对应的齐次解特解由激励函数决定，表2－2•齐次解－自由响应，由系统本身的特性决定。例2－3•特解－强迫响应，与激励函数的形式有关。例2－4•系统的完全响应包括自由相应和强迫响应两部分全响应受迫响应—特解—自由响应—齐次解—)()()(trtrtrph)()()(trtrtrph2.3起始点的跳变•e(t)在t=0时加入，响应区间为•起始状态（）：激励信号加入之前瞬时系统的状态，它包含了为计算未来响应的全部过去信息。•初始条件（）：激励信号加入之后瞬时系统的状态。它决定了完全响应中常数的值t0)0()(kr)0()(kr•在电系统中，状态体现了系统储能元件的储能情况。包括电容上的起始电压和电感上的起始电流•若电路中无冲激电流（或阶跃电压）作用与电容以及无冲激电压（或阶跃电流）作用与电感，则加入激励后，电容两端的电压和电感两端的电流不会发生突变，即：0)0(cv)0(Li)0()0()0()0(LLcciivv•例2－5•冲激函数匹配法（列t=0时刻微分方程）原理：t=0时刻微分方程两端的冲激函数及其各阶导数平衡相等。求解线性常系数微分方程流程图见图2－5（p54）2.4零输入响应与零状态响应•零输入响应没有外加激励信号的作用，只有系统起始时刻的储能（起始状态）所产生的响应。它是满足方程2-27及起始状态的解。形式为：其中常数可由确定。nktzikzikeAtr1)()0()(kr•零状态响应不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），有系统的外加激励信号所产生的响应。他是满足方程2-29且起始状态为零的解，形式为：其中B(t)为特解。)()(1tBeAtrnktzskzsk•线性与时不变性若系统的起始状态为零，则由常系数线性微分方程描述的系统是线性的和时不变的。若起始状态不为零，由于响应中零输入分量的存在。使得系统响应对外加激励不满足叠加性与均匀性，也不满足时不变特性，同时也是非因果的。•全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之和的形式。•瞬态响应：当t趋于无穷大时，响应趋于零的那部分响应。•稳态响应：当t趋于无穷大时，保留下来的那部分响应。2.5冲激响应与阶跃响应•系统在单位冲激信号的激励下产生的零状态响应称为冲激响应。记为•系统的冲激响应反映了系统本身的性质。•系统在单位阶跃信号的激励下产生的零状态响应称为阶跃响应。记为•冲激响应与阶跃响应的关系如下：)(th)(tgtdhtgtgdtdth)()()()(•求解方程2-37且满足起始状态为零即可以求得系统的冲激响应。•利用冲激响应可以求得LTI系统对任意激励e(t)的响应。dthedtHedteHteHtrdtete).()(.)()().()(()().()()(例2-9与例2-102.6卷积•两个信号卷积的定义为：•卷积是一种数学运算•卷积的物理意义见上节)()()()()()()(122121tftftftfdtfftf•卷积图解法是借助于图形计算卷积积分的一种基本计算方法。与解析法相比，图解法使人更容易理解系统零状态响应的物理意义和积分上下限的确定。从几何意义来说，卷积积分是相乘曲线下的面积。卷积的图解法——•图解法具体步骤为图解法例题两个信号如图，求卷积0t)(1tf1-110t)(2tf112212101-11011221)(1f)(2f0)(2f-12211)(2tf01-11)(1f1t21t221“置换”“反褶”“平移”1)(2tf1-1)(1f1t21t012)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf1-1)(1f1t21t0120.50.50.50.5“平移”2“平移”3“平移”4“平移”50t)(ty223-121898152.7卷积的性质•卷积代数交换律分配律并联系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应之和)()()()(1221tftftftf)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf)(ty)(tx)(1th)(2th两个子系统并联•结合律•串联系统的冲激响应等于各子系统的冲激响应的卷积。)]()([)()()]()([321321tftftftftftf•卷积的微分和积分•证明见2-48，2－50•同理可以导出卷积的高阶导数和多重积分•与冲激函数的卷积•利用卷积的性质可以简化卷积运算，见书p67)()()(tfttf)()()()1()1(tfttf)()()()()()1()1(tftutfttf)()()(2121TTtfTtTtf