2-2-多维随机变量及其分布-(2)

下回停第二节多维随机变量及其分布(2)五、边缘分布函数六、离散型随机变量的边缘分布律七、连续型随机变量的边缘分布五、边缘分布函数如果(X,Y)是一个二维随机变量,则它的分量X(或者Y)是一维随机变量.我们称X(或者Y)的分布为X(或者Y)关于二维随机变量(X,Y)的边缘分布.几何表示:xyx),(xF,),(),(的分布函数为随机变量设YXyxF定义FxyPXxYy(,){,},则),,(},{}{xFYxXPxXP边缘分布函数的定义.),(的边缘分布函数关于为随机变量XYX).,()(xFxFX记为y,令称}{},{),()(yYPyYXPyFyFY,x同理令.),(的边缘分布函数关于为随机变量YYX边缘分布也称为边沿分布或边际分布.xyy),(yF六、离散型随机变量的边缘分布律的联合设二维离散型随机变量),(YX定义.,2,1,,},{jipyYxXPijji分布律为,,2,1},{1ixXPppijiji记,,2,1},{1jyYPppjiijj),(),2,1(),2,1(YXjpipji为和分别称.的边缘分布律和关于关于YXXYixxx21jyyy2111p21p1ip……12p22p…2ip……jp1jp2……ijp……………直观的从分布列表中看，就是12jjpppp12iipppp注：每一个叫作边缘概率，整体叫作边缘分布律。ijp1iiXijixxjxxFxFxpp()(,),1jjYijjyyiyyFyFypp()(,).X和Y的边缘分布函数同于一维离散型随机变量的分布函数的求法，分别为例1已知下列分布律，求其边缘分布律.XY107272727110}{iixXPp}{jjyYPp注联合分布律边缘分布律解747317473箱中装两个白球,三个黑球;分别进行有放回则(X,Y)的分布律可以写为.1,0,1,1次摸黑球第次摸白球第X.2,0,2,1次摸黑球第次摸白球第Y举例1的摸球和无放回的摸球,定义如下随机变量XY01015353535252535252有放回XY01014253435242534152无放回七、连续型随机变量的边缘分布定义设密度为二维连续型随机变量若,),(YXxyyxpxFxFxXdd),(),()(的边缘密度函数为则X的边缘密度函数为同理可得Y则函数为),,(yxpyyxpxpXd),()(xyxpypYd),()(xxdxpxF)()(对照例3yyxpxpXd),()(的分布密度为设),(YX.,0,0,0,e),()(其他yxyxpyx求关于X和Y的边缘概率密度函数.解根据定义有)0(0)(xeydexyx的边缘密度为所以关于X.0,0,0,e)(xxxpxX的边缘密度为同理可得关于Y注由联合分布密度能推出边缘分布密度,.0,0,0,e)(yyypyY但由边缘分布密度推不出联合分布密度.的概率密度为设二维随机变量),(YX2211π21),(ρσσyxp.的边缘概率密度试求二维正态随机变量),(yx,0,0,,,,,212121σσρσσμμ且都是常数其中例4.11ρ2222212121212)())((2)()1(21expσμyσσμyμxρσμxρ解.,eπ21)(21212)(1xσxpσμxX.,eπ21)(22222)(2yσypσμyY通过本题,我们可以得到如下结论布是一元正态分布．二元正态分布的边缘分，则即若),,,,(~),(222121NYX).,(~),,(~222211NYNX1º的参数与二元上述的两个边缘分布中2º注无关．正态分布中的常数，如果),,,,(~),(122212111NYX，),,,,(~),(222212122NYX21其中的分布函数不同，与则),(),(2211YXYX.2121的分布函数相同与，与但是YYXX3º不能由边缘分布一般来讲这表明,,.推出联合分布思考题边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答：的联合密度函数为令),(YX但是不服从正态分布显然,),(,YX因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合),sinsin1(eπ21),(222yxyxpyx分布不一定是二维正态分布..eπ21)(,eπ21)(2222yYxXypxp解yyxpxpXd),()(yxydeyyxpxpXd),()(.ex,0时当x.0.,0,0,e)(其它故xxpxX.,0,0,e),(~),(其它设yxyxpYXy例4-1,0时当x}.1{)2();()1(YXPxpX求}1{)2(YXPxxyyx1210dedxxxd]ee[)1(210.e2e1211yxyxpyxdd),(1xyOxyxy121内容小结1.边缘分布函数.),(的边缘分布函数关于随机变量XYX),()(xFxFX.),(的边缘分布函数关于随机变量YYX),()(yFyFY2.离散型随机变量边缘分布,,2,1},{1ixXPppijiji(2)二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律,,2,1},{1jyYPppjiijj(1)二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律(4)二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.),()(1yyiijYjpyFyF(3)二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数,),()(1xxjijXipxFxF3.连续型随机变量边缘分布(2)二维连续型随机变量(X,Y)关于Y的边缘密度函数(1)二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘密度函数yyxpxpXd),()(xyxpypYd),()((3)二维连续型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数xyyxpxFxFxXdd),(),()((4)二维连续型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数yxyxpyFyFyYdd),(),()(备用题例3-1如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为.,0,0,0,eee1),(},max{---122121其他yxyxFyxyxyx试求X和Y各自的边缘分布函数.解因为,e1}eee1{lim1122121-},max{---xyxyxyxy,e1}eee1{lim2122121-},max{---yyxyxyxx所以X和Y各自的边缘分布函数为.,0,0,e1),(lim),()(1-其他xyxFxFxFxyX.,0,0,e1),(lim),()(2-其他yyxFyFyFyxY可见，这两个边缘分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立.例3-2)25)(16(π20),(222yxyxp解xyvuvuPyxFd)d,(),(有密度函数设二维随机变量),(.),(的边缘密度函数和的联合分布函数及关于求xyvuvu)25)(16(ddπ20222)25d)(16d(π20222xyvvuu)2π5)(arctan2π4(arctanπ12yx)2π5)(arctan2π4(arctanπ1),(2yxyxF故yx,即为所求的联合分布函数.)2π4(arctanπ1),(lim)(xyxFxFy)2π5(arctanπ1),(lim)(yyxFyFx即为所求的边缘分布函数.例3-3GxyxyYX所围成的区域在曲线设,),(2解,61d)(102xxxAG的面积区域里服从均匀分布.求联合分布密度和边缘分布密度.由题设知(X,Y)的联合分布密度为.,0,,10,6),(2其他xyxxyxpyyxpxpXd),()(从而),(6d622xxyxx10x图3-3xyOxy2xy.0,10),(6)(2其他，即xxxxpXyyYxxyxpypd6d),()(10),(6yyy.0,10),(6)(其他，即yyyypY例3-4设二维随机变量(X,Y)具如下联合概率密度,.,0,1,1,e2),()1(31其他yxxyxpy求边缘分布..,0,0,0,0,0,eπ1),()2()(2122其他或yxyxyxpyx解1)1(x对,2de2)(3131xyxxpyX.,0,1,2)(3其他所以xxxpX1y对,ede2)(1131yyYxxyp.,0,1,e)(1其他所以yypyY0)2(x对;eπ21deπ1)(20)(21222xyxXyxp0x对,eπ21deπ1)(20)(21222xyxXyxp.,eπ21)(22xxpxX所以).(ypY同理可求出例3-5内服从均匀分布，求X,Y的边缘概率密度.)0(),(222rryxYX在设二维随机变量解应先求出联合概率密度，为此求}0,:),{(222rryxyxG.π2rG的面积为的面积，显然所以(X,Y)的联合概率密度为.0,,π1),(2222其他，ryxryxp时，，当由rxyyxpxpXd),()(,π2dπ1d),()(22222222rxryryyxpxpxrxrX.,0,,π2)(222rxrxrxrxpX所以同理可求得.,0,,π2)(222ryryryrypY解yyxpxpXd),()(yxydeyyxpxpXd),()(.ex,0时当x.0.,0,0,e)(其它故xxpxX.,0,0,e),(~),(其它设yxyxpYXy例4-1,0时当x}.1{)2();()1(YXPxpX求}1{)2(YXPxxyyx1210dedxxxd]ee[)1(210.e2e1211yxyxpyxdd),(1xyOxyxy121